作者wohtp (會喵喵叫的大叔)
看板Physics
標題Re: [問題] 關於creator和annihilator
時間Mon Aug 28 00:23:36 2017
: 因為 S 的書上是說要推廣這個做法，所以在推廣的過程中，
:
: ket space 就會很自然地變大成 V⊙V⊙V⊙... 這種感覺的東西。
:
: 最後寫成 ⊙_{y \in space} (V⊙V⊙V)←寫三個是因為是三維空間。
從這句開始大有問題。
我不知道那三個V是怎麼來的，我傾向於你讀錯了。
總之那是場住的地方，跟 D 維時空完全無關，也不會是粒子的位置。
首先，場論的 dynamical degrees of freedom
不是單一粒子的位置、動量。
既然 S 直接把東西擺在格點上，我們就來講格點。
假設一維空間就好，所以位置以一個整數 x 來表示，然後粒子是spinless bosons。
你學過的量子力學問的是：
這顆粒子在哪裡？
如果系統裡有一顆粒子，你就有一組 x, p
如果系統裡有兩顆粒子，你需要兩組 (x1, p1), (x2, p2)
如果系統裡有 N 顆粒子，那你需要 N 組算符。
然後這些狀況都完全互相獨立。
例如說兩顆粒子的算符就只能作用在兩顆粒子的量子態上面。
如果你有個量子態來自只有一組 (x, p) 的Hilbert space，
那(x1, p1)和(x2, p2)根本不能作用在上面。
場論問的是：
有多少顆粒子在位置 x 上面？
所以每個格點 x 上都要有一組算符。
\phi(x) 粗略來說表示 x 上面有幾顆粒子。
嚴格來說是在 x 點找到粒子的機率幅
\pi(x) 是 \phi(x) 的conjugate momentum。
但它不是粒子的動量。
就算你的系統是真空什麼都沒有，你也必須要有跟格點數一樣多的算符。
但是不管你的系統裡有幾顆粒子，你永遠只需要同樣的算符。
然後，creation and annihilation operators仍然是 \phi +- i\pi 的形式。
但你的dynamical variables是每一個格點上的機率幅，不是粒子的位置。
話說回來，你應該至少看過聲子了吧？
這麼比喻：場論的dynamical variables是底下的原子，但是要描述的是聲子。
底下原子的位移和動量在phonon state裡面完全被遮起來了，大概就這種感覺。
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.169.73.140
※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Physics/M.1503851020.A.3F1.html
1F：→ yyc2008: 它跟粒子的動量完全無關 那pi(x)是什麼? 08/28 00:34
2F：→ yyc2008: 不算廣義動量? 08/28 00:34
那我改說不是粒子動量就好。
其實你想一下聲子就好，聲子動量全看波長，
好像也沒在管底下的原子動量多少的。
※ 編輯: wohtp (1.169.73.140), 08/28/2017 00:42:13
3F：推 Vulpix: 感謝，不過容我先解釋一下第一段那三個 V。 08/28 00:46
4F：→ Vulpix: |ψ> = ∫ψ(x,y,z)|x,y,z>dxdydz 是一個三維空間的波函數 08/28 00:47
5F：→ Vulpix: ∫ψ(x,y,z) |x>⊙|y>⊙|z> dxdydz 08/28 00:49
6F：→ Vulpix: 那三個一維空間的狀態空間 V (state space, not phase 08/28 00:50
7F：推 mizys: 我大概懂你的大V是什麼，但你應該理解錯了，你自己google 08/28 00:50
8F：→ mizys: Fock space 08/28 00:50
9F：→ Vulpix: space) 就是這樣 tensor 出了三維空間上的狀態空間。 08/28 00:51
10F：→ wohtp: 就講了現在的變數不是位置啊…… 08/28 00:53
11F：推 Vulpix: Fock space 的建構看起來是 graded module 的想法。 08/28 01:07
12F：推 mizys: 而且你還在用波函數，你還是停留在單粒子的詮釋，你知道為 08/28 01:07
13F：→ mizys: 何要用場來描述嗎？ 08/28 01:07
14F：→ Vulpix: a:R^3→[某個 operator space] 所以他才被稱為 operator 08/28 01:10
15F：→ Vulpix: field，至少這個理解是對的吧？ 08/28 01:10
16F：→ Vulpix: 然後我以為那個[某個 operator space]就是 Hom(V,V)。 08/28 01:11
17F：→ Vulpix: 是這裡錯了嗎？ 08/28 01:12
18F：→ Vulpix: 然後我以為那個[某個 operator space]就是 Hom(V^3,V^3)。 08/28 01:12
19F：→ Vulpix: 那個 V^3 是 tensor 三次。 08/28 01:12
20F：→ wohtp: 是的，就是Hom(V^3,V^3)那裡錯了。 08/28 01:26
21F：→ wohtp: 我比較習慣用classical field和path integral來想。 08/28 01:28
22F：→ wohtp: 你說的應該相當於classical field的range是整個空間 08/28 01:29
23F：→ wohtp: 就是說你以為的\phi: R^3 --> R^3 08/28 01:31
24F：→ wohtp: 事實上右邊\phi的range可以是風馬牛不相及的任意空間 08/28 01:32
25F：推 Vulpix: 咦!? classical vector field 確實是R^3→R^3這樣的函數吧 08/28 01:37
26F：→ Vulpix: 例如風速場什麼的。 08/28 01:37
27F：→ Vulpix: 只是左邊的R^3是空間，而右邊的R^3是速度的空間。 08/28 01:38
28F：→ Vulpix: 啊，我好像找到哪裡不對了，應該要打到整個 Hilbert space 08/28 01:49
29F：→ Vulpix: 的 Hom 才對。所以我才在考慮怎麼建構那個 Hilbert space. 08/28 01:51
30F：→ Vulpix: 考慮的結果就是空間中每一點的坐標當成 index，每一點都 08/28 01:52
31F：→ Vulpix: assign 一個 V^3 給他，然後全部 tensor 起來。 08/28 01:53
32F：→ Vulpix: 看起來能有錯誤的地方應該是 index 的選擇吧？ 08/28 01:54
33F：推 mizys: 你的場算符作用，會多跑出一顆粒子，維數會加一，如果你要 08/28 07:20
34F：→ mizys: 求你的space在場算符作用下是封閉的，那你空間要無窮維 08/28 07:20
35F：推 Vulpix: 這是用無窮多個V^3來tensor的理由之一。x們隨時都standby 08/28 07:50
36F：→ Vulpix: 著。 08/28 07:50
37F：→ Vulpix: 位置空在那兒，只要在他那個factor上create一下就是一顆粒 08/28 07:52
38F：→ Vulpix: 子。 08/28 07:53
39F：→ wohtp: 可是不一定要是向量場啊，事實上向量場很麻煩的，現在入門 08/28 09:12
40F：→ wohtp: 階段你看到的例子應該只是純量。 08/28 09:12
41F：→ wohtp: 你自己也說啦，就算是R^3 --> R^3，兩個R^3還是不一樣的 08/28 09:14
42F：→ wohtp: 那個用空間當index的想法應該對了 08/28 09:16
43F：→ sputtering: 直覺像position和occupied的概念 像是transition類類 08/28 18:06
44F：→ sputtering: 一種把paticle numbers當成state的概念 08/28 18:10
45F：推 sputtering: 一種把真空階激發到有一個粒子的粒子態 08/28 18:18
46F：→ sputtering: 或者一個粒子回到真空階放射出一些東西 08/28 18:19
47F：→ sputtering: 一般來說都是成對的如電子和正子 08/28 18:20
48F：→ sputtering: 不好意思我是用了躍遷方式來解釋產生和湮滅 08/28 18:22
49F：→ wohtp: 樓上這個比喻不太符合。 08/28 22:09
50F：→ wohtp: creation/annihilation operator沒在管不變量的 08/28 22:12
51F：→ wohtp: 跟pair creation是物理上可以有的process不一樣 08/28 22:13
52F：→ wohtp: 然後V兄你不如放棄你的V^3吧。它真的不是實空間。 08/28 22:15
53F：推 Vulpix: 感謝，我拿Fock space比對，好像找到我想要的fiber了。 09/02 04:33
54F：→ Vulpix: 在網路上找到一篇文章，現在工作之餘就看看那篇，晚幾天 09/02 04:34
55F：→ Vulpix: 應該可以正式報告一下心得，可能到時候麻煩大大再幫忙針砭 09/02 04:34
56F：→ Vulpix: 一下XD 然後是我前面提到說找到的fiber：每一點要關聯一 09/02 04:35
57F：→ Vulpix: 個Hilbert space(以前我大概是一直被這句綁住……只想到 09/02 04:36
58F：→ Vulpix: 認識的Hilbert space就是single particle state space...) 09/02 04:37
59F：→ Vulpix: ，而那個Hilbert space就是 C|0>⊕C|x>⊕C|x>^2⊕... 09/02 04:39
60F：→ Vulpix: 當然這兒的次方是tensor product，然後Fock space是這一堆 09/02 04:40
61F：→ Vulpix: Hilbert space乘起來以後的symmetric/anti-symmetric sub- 09/02 04:42
62F：→ Vulpix: space。Fock space的解讀確實是直觀的，但似乎也不夠代表 09/02 04:44
63F：→ Vulpix: 所有的QFT都會這麼「乖」，所以書中遲遲無法將Hilbert 09/02 04:45
64F：→ Vulpix: space的長相寫下……(還沒讀完，不過目前大概理解到這樣) 09/02 04:46
65F：→ wohtp: 你還是沒有轉過來啊。 09/03 15:50
66F：→ wohtp: 本來是要說你那個hilbert space長相還是不太對，不過轉回頭 09/03 15:52
67F：→ wohtp: 看看好像也不算錯 09/03 15:52
68F：→ wohtp: 其實在一個點上的Hilbert space很簡單啊，唯一的dynamical 09/03 15:54
69F：→ wohtp: variable就是那兒的粒子數而已 09/03 15:54
70F：→ wohtp: 所以就span{|n>}, n non-negative integer 這樣而已 09/03 15:55
71F：→ wohtp: 所有的free qft 在R^m 上面都是這麼乖的，入門書不這麼寫只 09/03 15:58
72F：→ wohtp: 是因為連搞紙筆理論的都不見得關心這套。 09/03 15:58