作者wohtp (会喵喵叫的大叔)
看板Physics
标题Re: [问题] 关於creator和annihilator
时间Mon Aug 28 00:23:36 2017
: 因为 S 的书上是说要推广这个做法，所以在推广的过程中，
:
: ket space 就会很自然地变大成 V⊙V⊙V⊙... 这种感觉的东西。
:
: 最後写成 ⊙_{y \in space} (V⊙V⊙V)←写三个是因为是三维空间。
从这句开始大有问题。
我不知道那三个V是怎麽来的，我倾向於你读错了。
总之那是场住的地方，跟 D 维时空完全无关，也不会是粒子的位置。
首先，场论的 dynamical degrees of freedom
不是单一粒子的位置、动量。
既然 S 直接把东西摆在格点上，我们就来讲格点。
假设一维空间就好，所以位置以一个整数 x 来表示，然後粒子是spinless bosons。
你学过的量子力学问的是：
这颗粒子在哪里？
如果系统里有一颗粒子，你就有一组 x, p
如果系统里有两颗粒子，你需要两组 (x1, p1), (x2, p2)
如果系统里有 N 颗粒子，那你需要 N 组算符。
然後这些状况都完全互相独立。
例如说两颗粒子的算符就只能作用在两颗粒子的量子态上面。
如果你有个量子态来自只有一组 (x, p) 的Hilbert space，
那(x1, p1)和(x2, p2)根本不能作用在上面。
场论问的是：
有多少颗粒子在位置 x 上面？
所以每个格点 x 上都要有一组算符。
\phi(x) 粗略来说表示 x 上面有几颗粒子。
严格来说是在 x 点找到粒子的机率幅
\pi(x) 是 \phi(x) 的conjugate momentum。
但它不是粒子的动量。
就算你的系统是真空什麽都没有，你也必须要有跟格点数一样多的算符。
但是不管你的系统里有几颗粒子，你永远只需要同样的算符。
然後，creation and annihilation operators仍然是 \phi +- i\pi 的形式。
但你的dynamical variables是每一个格点上的机率幅，不是粒子的位置。
话说回来，你应该至少看过声子了吧？
这麽比喻：场论的dynamical variables是底下的原子，但是要描述的是声子。
底下原子的位移和动量在phonon state里面完全被遮起来了，大概就这种感觉。
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 1.169.73.140
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Physics/M.1503851020.A.3F1.html
1F：→ yyc2008: 它跟粒子的动量完全无关 那pi(x)是什麽? 08/28 00:34
2F：→ yyc2008: 不算广义动量? 08/28 00:34
那我改说不是粒子动量就好。
其实你想一下声子就好，声子动量全看波长，
好像也没在管底下的原子动量多少的。
※ 编辑: wohtp (1.169.73.140), 08/28/2017 00:42:13
3F：推 Vulpix: 感谢，不过容我先解释一下第一段那三个 V。 08/28 00:46
4F：→ Vulpix: |ψ> = ∫ψ(x,y,z)|x,y,z>dxdydz 是一个三维空间的波函数 08/28 00:47
5F：→ Vulpix: ∫ψ(x,y,z) |x>⊙|y>⊙|z> dxdydz 08/28 00:49
6F：→ Vulpix: 那三个一维空间的状态空间 V (state space, not phase 08/28 00:50
7F：推 mizys: 我大概懂你的大V是什麽，但你应该理解错了，你自己google 08/28 00:50
8F：→ mizys: Fock space 08/28 00:50
9F：→ Vulpix: space) 就是这样 tensor 出了三维空间上的状态空间。 08/28 00:51
10F：→ wohtp: 就讲了现在的变数不是位置啊…… 08/28 00:53
11F：推 Vulpix: Fock space 的建构看起来是 graded module 的想法。 08/28 01:07
12F：推 mizys: 而且你还在用波函数，你还是停留在单粒子的诠释，你知道为 08/28 01:07
13F：→ mizys: 何要用场来描述吗？ 08/28 01:07
14F：→ Vulpix: a:R^3→[某个 operator space] 所以他才被称为 operator 08/28 01:10
15F：→ Vulpix: field，至少这个理解是对的吧？ 08/28 01:10
16F：→ Vulpix: 然後我以为那个[某个 operator space]就是 Hom(V,V)。 08/28 01:11
17F：→ Vulpix: 是这里错了吗？ 08/28 01:12
18F：→ Vulpix: 然後我以为那个[某个 operator space]就是 Hom(V^3,V^3)。 08/28 01:12
19F：→ Vulpix: 那个 V^3 是 tensor 三次。 08/28 01:12
20F：→ wohtp: 是的，就是Hom(V^3,V^3)那里错了。 08/28 01:26
21F：→ wohtp: 我比较习惯用classical field和path integral来想。 08/28 01:28
22F：→ wohtp: 你说的应该相当於classical field的range是整个空间 08/28 01:29
23F：→ wohtp: 就是说你以为的\phi: R^3 --> R^3 08/28 01:31
24F：→ wohtp: 事实上右边\phi的range可以是风马牛不相及的任意空间 08/28 01:32
25F：推 Vulpix: 咦!? classical vector field 确实是R^3→R^3这样的函数吧 08/28 01:37
26F：→ Vulpix: 例如风速场什麽的。 08/28 01:37
27F：→ Vulpix: 只是左边的R^3是空间，而右边的R^3是速度的空间。 08/28 01:38
28F：→ Vulpix: 啊，我好像找到哪里不对了，应该要打到整个 Hilbert space 08/28 01:49
29F：→ Vulpix: 的 Hom 才对。所以我才在考虑怎麽建构那个 Hilbert space. 08/28 01:51
30F：→ Vulpix: 考虑的结果就是空间中每一点的坐标当成 index，每一点都 08/28 01:52
31F：→ Vulpix: assign 一个 V^3 给他，然後全部 tensor 起来。 08/28 01:53
32F：→ Vulpix: 看起来能有错误的地方应该是 index 的选择吧？ 08/28 01:54
33F：推 mizys: 你的场算符作用，会多跑出一颗粒子，维数会加一，如果你要 08/28 07:20
34F：→ mizys: 求你的space在场算符作用下是封闭的，那你空间要无穷维 08/28 07:20
35F：推 Vulpix: 这是用无穷多个V^3来tensor的理由之一。x们随时都standby 08/28 07:50
36F：→ Vulpix: 着。 08/28 07:50
37F：→ Vulpix: 位置空在那儿，只要在他那个factor上create一下就是一颗粒 08/28 07:52
38F：→ Vulpix: 子。 08/28 07:53
39F：→ wohtp: 可是不一定要是向量场啊，事实上向量场很麻烦的，现在入门 08/28 09:12
40F：→ wohtp: 阶段你看到的例子应该只是纯量。 08/28 09:12
41F：→ wohtp: 你自己也说啦，就算是R^3 --> R^3，两个R^3还是不一样的 08/28 09:14
42F：→ wohtp: 那个用空间当index的想法应该对了 08/28 09:16
43F：→ sputtering: 直觉像position和occupied的概念 像是transition类类 08/28 18:06
44F：→ sputtering: 一种把paticle numbers当成state的概念 08/28 18:10
45F：推 sputtering: 一种把真空阶激发到有一个粒子的粒子态 08/28 18:18
46F：→ sputtering: 或者一个粒子回到真空阶放射出一些东西 08/28 18:19
47F：→ sputtering: 一般来说都是成对的如电子和正子 08/28 18:20
48F：→ sputtering: 不好意思我是用了跃迁方式来解释产生和湮灭 08/28 18:22
49F：→ wohtp: 楼上这个比喻不太符合。 08/28 22:09
50F：→ wohtp: creation/annihilation operator没在管不变量的 08/28 22:12
51F：→ wohtp: 跟pair creation是物理上可以有的process不一样 08/28 22:13
52F：→ wohtp: 然後V兄你不如放弃你的V^3吧。它真的不是实空间。 08/28 22:15
53F：推 Vulpix: 感谢，我拿Fock space比对，好像找到我想要的fiber了。 09/02 04:33
54F：→ Vulpix: 在网路上找到一篇文章，现在工作之余就看看那篇，晚几天 09/02 04:34
55F：→ Vulpix: 应该可以正式报告一下心得，可能到时候麻烦大大再帮忙针砭 09/02 04:34
56F：→ Vulpix: 一下XD 然後是我前面提到说找到的fiber：每一点要关联一 09/02 04:35
57F：→ Vulpix: 个Hilbert space(以前我大概是一直被这句绑住……只想到 09/02 04:36
58F：→ Vulpix: 认识的Hilbert space就是single particle state space...) 09/02 04:37
59F：→ Vulpix: ，而那个Hilbert space就是 C|0>⊕C|x>⊕C|x>^2⊕... 09/02 04:39
60F：→ Vulpix: 当然这儿的次方是tensor product，然後Fock space是这一堆 09/02 04:40
61F：→ Vulpix: Hilbert space乘起来以後的symmetric/anti-symmetric sub- 09/02 04:42
62F：→ Vulpix: space。Fock space的解读确实是直观的，但似乎也不够代表 09/02 04:44
63F：→ Vulpix: 所有的QFT都会这麽「乖」，所以书中迟迟无法将Hilbert 09/02 04:45
64F：→ Vulpix: space的长相写下……(还没读完，不过目前大概理解到这样) 09/02 04:46
65F：→ wohtp: 你还是没有转过来啊。 09/03 15:50
66F：→ wohtp: 本来是要说你那个hilbert space长相还是不太对，不过转回头 09/03 15:52
67F：→ wohtp: 看看好像也不算错 09/03 15:52
68F：→ wohtp: 其实在一个点上的Hilbert space很简单啊，唯一的dynamical 09/03 15:54
69F：→ wohtp: variable就是那儿的粒子数而已 09/03 15:54
70F：→ wohtp: 所以就span{|n>}, n non-negative integer 这样而已 09/03 15:55
71F：→ wohtp: 所有的free qft 在R^m 上面都是这麽乖的，入门书不这麽写只 09/03 15:58
72F：→ wohtp: 是因为连搞纸笔理论的都不见得关心这套。 09/03 15:58