作者Vulpix (Sebastian)
看板Physics
標題[問題] 關於creator和annihilator
時間Fri Aug 25 22:36:06 2017
【出處】QFT, M. Srednicki 不是習題，應該不限於這本。
【題目】
creator 和 annihilator 的「長相」是寫得出來的嗎？
(希望能用 X、P 等以往熟悉的算子表示。)
如果一般的形式太複雜，那先就 free space 或 SHO 來寫也行。
要是連這兩個情況也寫不出來，就只好問……它們真的存在嗎？
【瓶頸】
(以下所有的 + 號都表示 dagger。)
在解QM中的SHO時可以利用 ladder operator (a 和 a^+) 來輔助，
將此概念推廣後，直接在每一個位置都放一個 operator 並稱其為 operator field。
對於 fermion，考慮 [a(x), a^+(x')] = δ(x-x') 等量子化條件。
而對於SHO來說，考慮 [a, a^+] = 1，A(y) = a, if y=x
1, otherwise
直接規定 a(x) = ⊙_{y \in space} A(y)。
(其中⊙是tensor product。)
那這樣定出來的 a(x) 就會滿足 [a(x), a^+(x')] = δ_{x,x'}。
(上面這個δ是 Kronecker δ，不過我們稍微閉一隻眼，
那他跟 Dirac δ也沒差很多，"看起來"就只是差一個 scaling factor 而已。)
我覺得這算是很直覺的推廣。
不過這引出一個問題：
如果我們用符號 <x,y,z|1,2,3> 表示 δ(x-1,y-2,z-3)。
那麼當我考慮ψ(y) = |1,2,3>, if (x,y,z) = (0,0,0)
|0> (基態), otherwise
⊙_{y \in space} ψ(y) 這個 state 到底代表什麼意思？
因為搞不懂上面這個東西，所以稍微放棄了去詮釋他，改另一個想法：
上面的 state space 和 operator space 太巨大又太奇怪，
那我能不能在原本熟悉的 operator space 中找到夠多的算子
來滿足我們的量子化條件？
具體來說，我想找到 a(0,0,0) 是哪個算子？a^+(1,2,3) 又是哪個？
然後才能知道，a 和 a^+ 這兩個函數的長相。
大概是這樣，敘述可能有點混亂，歡迎有意願討論的朋友提問，以溝通想法。
奇怪的問題，謝謝您的閱讀。
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1F：→ lucifiel1618: 當然行啊，隨便一本課本都找得到吧 08/26 03:55
2F：→ lucifiel1618: 我不太懂你是連SHO的creation & annihilation算子 08/26 03:58
3F：→ lucifiel1618: 長什麼樣都不知道還是要問基本粒子的這些算子 08/26 03:59
4F：→ lucifiel1618: 但當然都是用x和p表示的 08/26 03:59
5F：推 mizys: 實在看不懂你在講什麼，Greiner在講二次量子化挺清楚的 08/26 05:05
6F：→ mizys: 你還是先複習諧震子再說吧！ 08/26 05:07
我會去翻翻看，謝謝你。
然後我知道我說得很不清楚XD
所以會再敘述好一點。
下文中，Q 是一維位置算符，P 是一維動量算符。
V 是一維空間上的 ket space (state space)。
在解二維空間中的薛丁格方程式時，可將 ket space 以 V⊙V 表示。
此時我們常用的位置、動量算符：
X = Q_1 = Q⊙1
Y = Q_2 = 1⊙Q
Px = P_1 = P⊙1
Py = P_2 = 1⊙P
他們滿足 [Q_i,Q_j] = 0, [P_i,P_j] = 0, [Q_i,P_j] = ih_barδ_ij。
同時我們也透過一維 SHO 的 ladder operator 得到二維 SHO 的：
a_1 = a⊙1, a_2 = 1⊙a
a_1、a_2 都會降低量子數(與能量相關)，而且彼此互不干涉。
因為 S 的書上是說要推廣這個做法，所以在推廣的過程中，
ket space 就會很自然地變大成 V⊙V⊙V⊙... 這種感覺的東西。
最後寫成 ⊙_{y \in space} (V⊙V⊙V)←寫三個是因為是三維空間。
可是一旦讓 ket space 變成這麼巨大的東西，
就會出現「在 (0,0,0) 的 |1,2,3>」這樣奇怪的 state。
※ 編輯: Vulpix (36.227.254.218), 08/27/2017 03:17:30
7F：推 wohtp: 我假設原po的問題是，假設把a和a^{\dag}看成創造或消滅粒子 08/27 01:24
8F：→ wohtp: ，那能不能把它們用粒子的x, p之類的算符寫出來 08/27 01:24
9F：→ wohtp: 答案當然是不可以 08/27 01:25
所以以一維來看的話，a^{\dag}(3)|0> = |x=3>，是這樣嗎？
那，a^{\dag}(3)|x=3> = |x_1=3,x_2=3>？是類似這種感覺嗎？
然後 a^{\dag}(7)|x=3> = |x_1=3,x_2=7> + |x_1=7,x_2=3>。
（當然我忽略了一些 factor。）
如果是這樣，那 a^{\dag}(3) 果然已經脫離我們以前認識的 operator space 了。
那能夠用 x, p 來表示這件事當然也就單純是夢話。
10F：→ Vulpix: 可是像 SHO 就是 x+ip 這類形式(in QM)。我只是想寫個能說 08/27 03:21
11F：→ Vulpix: 服自己的形式，而且透過這些東西去思考自己會比較安心。 08/27 03:22
※ 編輯: Vulpix (36.227.254.218), 08/27/2017 04:06:26
12F：→ Vulpix: 就算寫不出來，至少想要知道給一組跟 Hamiltonian 無關的 08/27 04:07
13F：→ Vulpix: complete basis 的時候，a(x) 這些東西如何作用。 08/27 04:08
14F：→ Vulpix: 基本上我不太相信 QM 前幾章用的 |x> 或 |p> 還可以繼續當 08/27 04:09
15F：→ Vulpix: complete basis 用。 08/27 04:09
16F：推 mizys: 它已經不是本來的Hilbert space了，你談算符是要注意它是 08/27 07:05
17F：→ mizys: 定義在哪個空間那個representation下的 08/27 07:05
18F：→ mizys: 算符不見的在每個representation每個space下都well define 08/27 07:08
19F：→ mizys: 的 08/27 07:08
我懂，只是書上沒說，所以就盡量用自己的想法去執行 trial and error。
20F：→ wohtp: 我看不懂什麼叫「在(0，0，0) 的(1，2，3)」 08/27 10:48
21F：→ wohtp: a^{\dag}(1)就在1，搬到0就變成a^{\dag}(0) 08/27 10:50
如果用 tensor product 的那個推廣想法：
因為每個 factor 都是 V⊙V⊙V，而這個 V⊙V⊙V 有很多 ket，
例如說 |1,2,3> 就是其中一個，是一個集中在 (1,2,3) 這個點上的波函數，
而且是在量子力學中很常用的 position basis 其中之一元。
然後是把所有的 V⊙V⊙V 全部 tensor 起來，
關於每一點都有一個 V⊙V⊙V，所以 (0,0,0) 當然也會有一個。
則我們能夠寫出關於 (0,0,0) 的 |1,2,3>。
其他 factor 都放 ground state，包括 (1,2,3) 的那個 factor。
然後取這些 ket 的 tensor product 就應該會得到一個
看起來像「在 (0,0,0) 的 |1,2,3>」的 state。
※ 編輯: Vulpix (36.227.254.218), 08/27/2017 12:46:05
※ 編輯: Vulpix (36.227.254.218), 08/27/2017 16:35:09
※ 編輯: Vulpix (36.227.254.218), 08/27/2017 20:51:25
22F：→ wohtp: 你應該嚴重誤會了課本的意思 08/27 23:38
23F：→ wohtp: 好麻煩我用回文的好了 08/27 23:39