作者Vulpix (Sebastian)
看板Physics
标题[问题] 关於creator和annihilator
时间Fri Aug 25 22:36:06 2017
【出处】QFT, M. Srednicki 不是习题，应该不限於这本。
【题目】
creator 和 annihilator 的「长相」是写得出来的吗？
(希望能用 X、P 等以往熟悉的算子表示。)
如果一般的形式太复杂，那先就 free space 或 SHO 来写也行。
要是连这两个情况也写不出来，就只好问……它们真的存在吗？
【瓶颈】
(以下所有的 + 号都表示 dagger。)
在解QM中的SHO时可以利用 ladder operator (a 和 a^+) 来辅助，
将此概念推广後，直接在每一个位置都放一个 operator 并称其为 operator field。
对於 fermion，考虑 [a(x), a^+(x')] = δ(x-x') 等量子化条件。
而对於SHO来说，考虑 [a, a^+] = 1，A(y) = a, if y=x
1, otherwise
直接规定 a(x) = ⊙_{y \in space} A(y)。
(其中⊙是tensor product。)
那这样定出来的 a(x) 就会满足 [a(x), a^+(x')] = δ_{x,x'}。
(上面这个δ是 Kronecker δ，不过我们稍微闭一只眼，
那他跟 Dirac δ也没差很多，"看起来"就只是差一个 scaling factor 而已。)
我觉得这算是很直觉的推广。
不过这引出一个问题：
如果我们用符号 <x,y,z|1,2,3> 表示 δ(x-1,y-2,z-3)。
那麽当我考虑ψ(y) = |1,2,3>, if (x,y,z) = (0,0,0)
|0> (基态), otherwise
⊙_{y \in space} ψ(y) 这个 state 到底代表什麽意思？
因为搞不懂上面这个东西，所以稍微放弃了去诠释他，改另一个想法：
上面的 state space 和 operator space 太巨大又太奇怪，
那我能不能在原本熟悉的 operator space 中找到够多的算子
来满足我们的量子化条件？
具体来说，我想找到 a(0,0,0) 是哪个算子？a^+(1,2,3) 又是哪个？
然後才能知道，a 和 a^+ 这两个函数的长相。
大概是这样，叙述可能有点混乱，欢迎有意愿讨论的朋友提问，以沟通想法。
奇怪的问题，谢谢您的阅读。
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1F：→ lucifiel1618: 当然行啊，随便一本课本都找得到吧 08/26 03:55
2F：→ lucifiel1618: 我不太懂你是连SHO的creation & annihilation算子 08/26 03:58
3F：→ lucifiel1618: 长什麽样都不知道还是要问基本粒子的这些算子 08/26 03:59
4F：→ lucifiel1618: 但当然都是用x和p表示的 08/26 03:59
5F：推 mizys: 实在看不懂你在讲什麽，Greiner在讲二次量子化挺清楚的 08/26 05:05
6F：→ mizys: 你还是先复习谐震子再说吧！ 08/26 05:07
我会去翻翻看，谢谢你。
然後我知道我说得很不清楚XD
所以会再叙述好一点。
下文中，Q 是一维位置算符，P 是一维动量算符。
V 是一维空间上的 ket space (state space)。
在解二维空间中的薛丁格方程式时，可将 ket space 以 V⊙V 表示。
此时我们常用的位置、动量算符：
X = Q_1 = Q⊙1
Y = Q_2 = 1⊙Q
Px = P_1 = P⊙1
Py = P_2 = 1⊙P
他们满足 [Q_i,Q_j] = 0, [P_i,P_j] = 0, [Q_i,P_j] = ih_barδ_ij。
同时我们也透过一维 SHO 的 ladder operator 得到二维 SHO 的：
a_1 = a⊙1, a_2 = 1⊙a
a_1、a_2 都会降低量子数(与能量相关)，而且彼此互不干涉。
因为 S 的书上是说要推广这个做法，所以在推广的过程中，
ket space 就会很自然地变大成 V⊙V⊙V⊙... 这种感觉的东西。
最後写成 ⊙_{y \in space} (V⊙V⊙V)←写三个是因为是三维空间。
可是一旦让 ket space 变成这麽巨大的东西，
就会出现「在 (0,0,0) 的 |1,2,3>」这样奇怪的 state。
※ 编辑: Vulpix (36.227.254.218), 08/27/2017 03:17:30
7F：推 wohtp: 我假设原po的问题是，假设把a和a^{\dag}看成创造或消灭粒子 08/27 01:24
8F：→ wohtp: ，那能不能把它们用粒子的x, p之类的算符写出来 08/27 01:24
9F：→ wohtp: 答案当然是不可以 08/27 01:25
所以以一维来看的话，a^{\dag}(3)|0> = |x=3>，是这样吗？
那，a^{\dag}(3)|x=3> = |x_1=3,x_2=3>？是类似这种感觉吗？
然後 a^{\dag}(7)|x=3> = |x_1=3,x_2=7> + |x_1=7,x_2=3>。
（当然我忽略了一些 factor。）
如果是这样，那 a^{\dag}(3) 果然已经脱离我们以前认识的 operator space 了。
那能够用 x, p 来表示这件事当然也就单纯是梦话。
10F：→ Vulpix: 可是像 SHO 就是 x+ip 这类形式(in QM)。我只是想写个能说 08/27 03:21
11F：→ Vulpix: 服自己的形式，而且透过这些东西去思考自己会比较安心。 08/27 03:22
※ 编辑: Vulpix (36.227.254.218), 08/27/2017 04:06:26
12F：→ Vulpix: 就算写不出来，至少想要知道给一组跟 Hamiltonian 无关的 08/27 04:07
13F：→ Vulpix: complete basis 的时候，a(x) 这些东西如何作用。 08/27 04:08
14F：→ Vulpix: 基本上我不太相信 QM 前几章用的 |x> 或 |p> 还可以继续当 08/27 04:09
15F：→ Vulpix: complete basis 用。 08/27 04:09
16F：推 mizys: 它已经不是本来的Hilbert space了，你谈算符是要注意它是 08/27 07:05
17F：→ mizys: 定义在哪个空间那个representation下的 08/27 07:05
18F：→ mizys: 算符不见的在每个representation每个space下都well define 08/27 07:08
19F：→ mizys: 的 08/27 07:08
我懂，只是书上没说，所以就尽量用自己的想法去执行 trial and error。
20F：→ wohtp: 我看不懂什麽叫「在(0，0，0) 的(1，2，3)」 08/27 10:48
21F：→ wohtp: a^{\dag}(1)就在1，搬到0就变成a^{\dag}(0) 08/27 10:50
如果用 tensor product 的那个推广想法：
因为每个 factor 都是 V⊙V⊙V，而这个 V⊙V⊙V 有很多 ket，
例如说 |1,2,3> 就是其中一个，是一个集中在 (1,2,3) 这个点上的波函数，
而且是在量子力学中很常用的 position basis 其中之一元。
然後是把所有的 V⊙V⊙V 全部 tensor 起来，
关於每一点都有一个 V⊙V⊙V，所以 (0,0,0) 当然也会有一个。
则我们能够写出关於 (0,0,0) 的 |1,2,3>。
其他 factor 都放 ground state，包括 (1,2,3) 的那个 factor。
然後取这些 ket 的 tensor product 就应该会得到一个
看起来像「在 (0,0,0) 的 |1,2,3>」的 state。
※ 编辑: Vulpix (36.227.254.218), 08/27/2017 12:46:05
※ 编辑: Vulpix (36.227.254.218), 08/27/2017 16:35:09
※ 编辑: Vulpix (36.227.254.218), 08/27/2017 20:51:25
22F：→ wohtp: 你应该严重误会了课本的意思 08/27 23:38
23F：→ wohtp: 好麻烦我用回文的好了 08/27 23:39