作者KBmax (James陽)
看板Physics
標題[問題] Noether theorem 跟Lorentz Invariance
時間Sat Apr 1 22:17:56 2017
http://i.imgur.com/K7x5jgA.jpg
這是translation symmetry的Noether Theorem
http://i.imgur.com/uAEbMYL.jpg
這是Lorentz symmetry的Noether Theorem
我不懂的地方是，Lagrangian跟field不是都是Lorentz invariant嗎？為什麼Lagrangian
的variation(變分)不是零？field在作完Lorentz transform之後應該還是一樣吧？
另外這個推導感覺沒有限制Lagrangian跟field要是Lorentz invariant就能得到Noether
Current Conservation 這樣有點奇怪，不是應該是需要當系統有什麼樣的Symmetry才會
有什麼樣的Conservation Law嗎？
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※ 編輯: KBmax (27.247.202.88), 04/01/2017 22:21:07
1F：推 Vulpix: 變分不是只沿著Lorentz轉換做，所以變分不須要是零。 04/01 23:33
2F：→ KBmax: 那是從哪一步開始用了Lorentz Invariant的條件得到最後的No 04/02 00:23
3F：→ KBmax: rther Conservation呢？我唯一能想到的地方是用Euler Lagra 04/02 00:23
4F：→ KBmax: ngian Equation的那一步，所以可以直接推論只要符合Euler L 04/02 00:23
5F：→ KBmax: agrangian Equation的field都有Lorentz Symmetry? 04/02 00:23
6F：→ KBmax: 還是我漏掉了什麼QQ 04/02 00:26
7F：推 a29788685: 我想你手邊有Schwartz的QFT吧，P33，Norther Theorem 04/02 00:31
8F：→ a29788685: 的推導是沿著對稱變換常數\alpha做變分 04/02 00:32
9F：→ a29788685: 而在要求L符合EoM時，自然會出現current conservation 04/02 00:33
10F：→ a29788685: 雖然我看不太懂你的問題，但這裡的對稱並不是要求 04/02 00:35
11F：→ a29788685: Lorentz 而是隨便一個轉動或平移當作例子 04/02 00:36
12F：→ a29788685: *或隨便一個Global symmtery 04/02 00:37
13F：→ KBmax: Lorentz Transformation不是就是在4D Space-time 的旋轉@@ 04/02 01:45
14F：→ KBmax: ？ 04/02 01:45
15F：→ KBmax: 然後還有一點是，從推導過程來看任意Lagrangian都可以寫成 04/02 01:50
16F：→ KBmax: 是x的function然後展開，這樣就可以得到Current了，那他的 04/02 01:50
17F：→ KBmax: 平移對稱性這個條件用在推導過程中的哪裡呢？ 04/02 01:50
18F：→ KBmax: 平移對稱性是指經過平移之後Lagrangian不變吧？這樣變分為 04/02 01:50
19F：→ KBmax: 什麼不是零呢？ 04/02 01:50
20F：→ a29788685: 你是可以沿著Lorentz變換中六個方向選一個來做平移 04/02 02:23
21F：→ a29788685: 上面只是指，這裡不用糾結在Lorentz，只要有對稱性都 04/02 02:23
22F：→ a29788685: 可以做Norther。他的變分是這樣dL/da=0 (用QFT p33) 04/02 02:25
23F：→ a29788685: d是delta，a是alpha, 你在量子力學中有學到e^ipx是平移 04/02 02:25
24F：→ a29788685: 而這邊的alpha就相當於x 04/02 02:26
25F：→ a29788685: 沿著你選定的對稱性的某個生成元產生方向轉動/平移 04/02 02:27
26F：→ a29788685: dalpha 04/02 02:28
27F：→ a29788685: by the way, 要連續的對稱群才能做這件事情 04/02 02:30
28F：→ wohtp: Lagrangian和field有什麼理由要平移（或旋轉或boost）以後 04/02 20:48
29F：→ wohtp: 不變嗎？ 04/02 20:48
30F：→ wohtp: 積分起來的action才有對稱性 04/02 20:49
31F：→ wohtp: 以平移來說，積分以後時空座標只是dummy，action當然不理你 04/02 20:50
32F：→ wohtp: 怎麼平移。 04/02 20:51
33F：→ wohtp: 然後，其實對稱性這東西是只要partition function不變就好 04/02 20:56
34F：→ wohtp: 了，action不變的條件常常還嫌太強呢。 04/02 20:57
35F：→ a29788685: 的確，探究action的對稱性才是正確的，上面dL/da是 04/02 21:58
36F：→ a29788685: Schwartz隨便給的一個例子，當對稱會影響dx^4的時候 04/02 21:59
37F：→ a29788685: 還是要小心為妙，謝謝提醒 04/02 21:59
38F：→ wohtp: 看最簡單的 Lagrangian L = phi(x)^2 就好 04/03 01:32
39F：→ wohtp: 平移以後明明就變成 phi(x+a)^2 04/03 01:32
40F：→ wohtp: 只要 L 滿足 local 這個條件，基本上不可能平移後保持不變 04/03 01:36
41F：→ a29788685: 跟你分享一下Schwartz,QFT,P13下半。如果你有書的話-.- 04/03 02:14
42F：→ wohtp: 手頭沒書。變分是零的我猜應該是internal global symmetry 04/03 13:52
43F：→ KBmax: 我好像大概懂了，我好像是把Symmetry Transformation 跟 Co 04/08 01:21
44F：→ KBmax: ordinate Transformation(Lorentz Invariant)搞混了@@ 04/08 01:21
45F：→ KBmax: 謝謝樓上諸位QFT神人救援>< 04/08 01:22
46F：推 wohtp: 只要partition function不變就是對稱性 04/08 10:23
47F：→ wohtp: Lorentz invariance就是Lagrangian會變但action不變，所以 04/08 10:25
48F：→ wohtp: partition function不變的例子 04/08 10:25
49F：→ wohtp: 你想的比較像是field乘上一個常數phase，Lagrangian本身直 04/08 10:29
50F：→ wohtp: 接不變 04/08 10:29
51F：→ wohtp: 這當然也是對稱，但只是其中一種可能 04/08 10:29
52F：→ wohtp: 但是不管怎麼說，要是連field本身都不變的話，你等於根本沒 04/08 10:31
53F：→ wohtp: 做東西，通常我們不會拿這個出來討論 04/08 10:31
54F：→ wohtp: 例如QED，電子和光子都完全不甩強作用力的SU(3) 04/08 10:34
55F：→ wohtp: 所以照定義它是SU(3) invariant沒錯 04/08 10:35
56F：→ wohtp: 但是才沒有人會去另外把一個什麼作用都沒有的對稱群特別拉 04/08 10:38
57F：→ wohtp: 出來講呢 04/08 10:38