作者KBmax (James阳)
看板Physics
标题[问题] Noether theorem 跟Lorentz Invariance
时间Sat Apr 1 22:17:56 2017
http://i.imgur.com/K7x5jgA.jpg
这是translation symmetry的Noether Theorem
http://i.imgur.com/uAEbMYL.jpg
这是Lorentz symmetry的Noether Theorem
我不懂的地方是，Lagrangian跟field不是都是Lorentz invariant吗？为什麽Lagrangian
的variation(变分)不是零？field在作完Lorentz transform之後应该还是一样吧？
另外这个推导感觉没有限制Lagrangian跟field要是Lorentz invariant就能得到Noether
Current Conservation 这样有点奇怪，不是应该是需要当系统有什麽样的Symmetry才会
有什麽样的Conservation Law吗？
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※ 编辑: KBmax (27.247.202.88), 04/01/2017 22:21:07
1F：推 Vulpix: 变分不是只沿着Lorentz转换做，所以变分不须要是零。 04/01 23:33
2F：→ KBmax: 那是从哪一步开始用了Lorentz Invariant的条件得到最後的No 04/02 00:23
3F：→ KBmax: rther Conservation呢？我唯一能想到的地方是用Euler Lagra 04/02 00:23
4F：→ KBmax: ngian Equation的那一步，所以可以直接推论只要符合Euler L 04/02 00:23
5F：→ KBmax: agrangian Equation的field都有Lorentz Symmetry? 04/02 00:23
6F：→ KBmax: 还是我漏掉了什麽QQ 04/02 00:26
7F：推 a29788685: 我想你手边有Schwartz的QFT吧，P33，Norther Theorem 04/02 00:31
8F：→ a29788685: 的推导是沿着对称变换常数\alpha做变分 04/02 00:32
9F：→ a29788685: 而在要求L符合EoM时，自然会出现current conservation 04/02 00:33
10F：→ a29788685: 虽然我看不太懂你的问题，但这里的对称并不是要求 04/02 00:35
11F：→ a29788685: Lorentz 而是随便一个转动或平移当作例子 04/02 00:36
12F：→ a29788685: *或随便一个Global symmtery 04/02 00:37
13F：→ KBmax: Lorentz Transformation不是就是在4D Space-time 的旋转@@ 04/02 01:45
14F：→ KBmax: ？ 04/02 01:45
15F：→ KBmax: 然後还有一点是，从推导过程来看任意Lagrangian都可以写成 04/02 01:50
16F：→ KBmax: 是x的function然後展开，这样就可以得到Current了，那他的 04/02 01:50
17F：→ KBmax: 平移对称性这个条件用在推导过程中的哪里呢？ 04/02 01:50
18F：→ KBmax: 平移对称性是指经过平移之後Lagrangian不变吧？这样变分为 04/02 01:50
19F：→ KBmax: 什麽不是零呢？ 04/02 01:50
20F：→ a29788685: 你是可以沿着Lorentz变换中六个方向选一个来做平移 04/02 02:23
21F：→ a29788685: 上面只是指，这里不用纠结在Lorentz，只要有对称性都 04/02 02:23
22F：→ a29788685: 可以做Norther。他的变分是这样dL/da=0 (用QFT p33) 04/02 02:25
23F：→ a29788685: d是delta，a是alpha, 你在量子力学中有学到e^ipx是平移 04/02 02:25
24F：→ a29788685: 而这边的alpha就相当於x 04/02 02:26
25F：→ a29788685: 沿着你选定的对称性的某个生成元产生方向转动/平移 04/02 02:27
26F：→ a29788685: dalpha 04/02 02:28
27F：→ a29788685: by the way, 要连续的对称群才能做这件事情 04/02 02:30
28F：→ wohtp: Lagrangian和field有什麽理由要平移（或旋转或boost）以後 04/02 20:48
29F：→ wohtp: 不变吗？ 04/02 20:48
30F：→ wohtp: 积分起来的action才有对称性 04/02 20:49
31F：→ wohtp: 以平移来说，积分以後时空座标只是dummy，action当然不理你 04/02 20:50
32F：→ wohtp: 怎麽平移。 04/02 20:51
33F：→ wohtp: 然後，其实对称性这东西是只要partition function不变就好 04/02 20:56
34F：→ wohtp: 了，action不变的条件常常还嫌太强呢。 04/02 20:57
35F：→ a29788685: 的确，探究action的对称性才是正确的，上面dL/da是 04/02 21:58
36F：→ a29788685: Schwartz随便给的一个例子，当对称会影响dx^4的时候 04/02 21:59
37F：→ a29788685: 还是要小心为妙，谢谢提醒 04/02 21:59
38F：→ wohtp: 看最简单的 Lagrangian L = phi(x)^2 就好 04/03 01:32
39F：→ wohtp: 平移以後明明就变成 phi(x+a)^2 04/03 01:32
40F：→ wohtp: 只要 L 满足 local 这个条件，基本上不可能平移後保持不变 04/03 01:36
41F：→ a29788685: 跟你分享一下Schwartz,QFT,P13下半。如果你有书的话-.- 04/03 02:14
42F：→ wohtp: 手头没书。变分是零的我猜应该是internal global symmetry 04/03 13:52
43F：→ KBmax: 我好像大概懂了，我好像是把Symmetry Transformation 跟 Co 04/08 01:21
44F：→ KBmax: ordinate Transformation(Lorentz Invariant)搞混了@@ 04/08 01:21
45F：→ KBmax: 谢谢楼上诸位QFT神人救援>< 04/08 01:22
46F：推 wohtp: 只要partition function不变就是对称性 04/08 10:23
47F：→ wohtp: Lorentz invariance就是Lagrangian会变但action不变，所以 04/08 10:25
48F：→ wohtp: partition function不变的例子 04/08 10:25
49F：→ wohtp: 你想的比较像是field乘上一个常数phase，Lagrangian本身直 04/08 10:29
50F：→ wohtp: 接不变 04/08 10:29
51F：→ wohtp: 这当然也是对称，但只是其中一种可能 04/08 10:29
52F：→ wohtp: 但是不管怎麽说，要是连field本身都不变的话，你等於根本没 04/08 10:31
53F：→ wohtp: 做东西，通常我们不会拿这个出来讨论 04/08 10:31
54F：→ wohtp: 例如QED，电子和光子都完全不甩强作用力的SU(3) 04/08 10:34
55F：→ wohtp: 所以照定义它是SU(3) invariant没错 04/08 10:35
56F：→ wohtp: 但是才没有人会去另外把一个什麽作用都没有的对称群特别拉 04/08 10:38
57F：→ wohtp: 出来讲呢 04/08 10:38