作者wohtp (會喵喵叫的大叔)
看板Physics
標題Re: [問題] 兩物體對質點的萬有引力
時間Mon Mar 27 00:31:28 2017
: 推 TellthEtRee: 我覺得不均勻重力場如果是來自多質點系統，那應該可 03/26 22:24
: → TellthEtRee: 以。如果重力場是自己隨意設定的空間函數，可能就不 03/26 22:24
: → TellthEtRee: 行。但我數學能力不夠，無法證明。可能還是要用數學 03/26 22:24
: → TellthEtRee: 證明看看。我是想到像高中的題目，兩個相鄰圓球，一 03/26 22:24
: → TellthEtRee: 大一小，大的中間某個部位被挖掉，這樣大球不就是在 03/26 22:24
: → TellthEtRee: 空間中製造不均勻重力場，對小球而言。嗯嗯 03/26 22:24
: → wohtp: 要是多質點系統可以，任意體積視為無限多點的和也就可以了 03/26 23:33
: → wohtp: 所以應該都不行？ 03/26 23:33
自問自答，均勻球體的確可以當成質點來辦，很有趣。
球對外面施力等同質點這個應該沒有問題，有問題的是球受力是不是也等同質點。
聰明的解答用到牛頓第三定律。
考慮一顆球與一個點。
球在外面造成的重力場看起來像是另一個質點。
球對質點的作用力像是質點對質點的作用力。
牛三 --> 質點對球的作用力也等於質點對質點的作用力。
笨方法...就做積分吧，好久沒看到能用手算的積分了有點感動。
質點 A 與球 B，球心距離 a，球 B 半徑 b。
總之把 A 加在 B 上面的重力位能積分出來，發現答案是 1/a。
https://i.imgur.com/IX492n2.jpg
然後，外頭的重力場只要在某個範圍內滿足 Poisson's eq，應該就
可以等價於邊界上有質量分布造成的重力。
不管什麼質量分布都可以視為質點疊加。
所以牛頓引力之下，均勻球體一定可以看成質點。
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1F：→ caseypie: 感覺griffithis電磁學靜電章節某個例題就是這個... 03/27 03:28
記得當時年紀小，電磁學只看老師講義考試有過就好 ╮(╯▽╰)╭
2F：→ silverywings: 回c大 其實重力場也有重力高斯定律 跟靜電的高斯定 03/27 03:49
3F：→ silverywings: 律一樣 只差在常數 03/27 03:49
4F：推 j0958322080: 嗯grifgiths有一題是這個，好像是ch2 03/27 12:13
5F：推 Vulpix: 這是因為平直空間的調和函數有球均性吧。 03/27 14:29
※ 編輯: wohtp (140.109.103.227), 03/27/2017 14:58:21
6F：推 j0958322080: 剛剛才發現你是用柱座標不是用球座標 03/27 23:51
7F：推 kkkk666: 我才高中欸 看不懂啦 03/29 23:20
8F：推 kkkk666: 為啥均勻球體可以視為質心 任意體積就要積分來算 03/29 23:24
9F：→ kkkk666: 我知道算出來答案不會一樣 所以任意體積視為質心是錯的 03/29 23:24
10F：→ kkkk666: 有沒有可以從想法下手 而不是用算式說明 03/29 23:24
11F：推 kkkk666: 質心所受的力=各質點的合力 03/29 23:26
12F：→ kkkk666: 類推:質心所受的萬有引力=各質點所受萬有引力之合力 03/29 23:26
13F：→ kkkk666: 這樣的想法哪裡錯了? 03/29 23:26
14F：→ kuromu: 質心受力等於系統合力只能拿來代'質心軌跡的F=Ma' 03/29 23:37
15F：→ kuromu: 質心軌跡和重力平方反比律沒有絕對關係(若系統質量分佈有 03/29 23:38
16F：→ kuromu: 特殊的對稱性，可能可以化約系統，使得直接到質點套平方 03/29 23:40
17F：→ kuromu: 當成質點套平方反比律 算出的結果是一樣的) 03/29 23:41
18F：→ kuromu: 抱歉 修正一下 能用質心軌跡算的是總(線)動量，合力(F=Ma 03/30 00:20
19F：→ kuromu: 中的Ma項),均勻重力場下的總重力位能或總力矩，必須是 03/30 00:21
20F：→ kuromu: 疊加時是線性，且權重正比於質量者才能用。一般情況平方 03/30 00:23
21F：→ kuromu: 反比疊加就不一定適用質心化約系統了 03/30 00:23
22F：→ kuromu: 例如高中會碰到的浮力題目也可以用 03/30 00:30
23F：→ kuromu: (所排開水的質心) 03/30 00:37
24F：→ caseypie: 想法沒錯，可是沒人說那個合力可以直接用質心的距離算 03/30 06:04
25F：→ linkismet: 舉個例：xy平面上 03/30 09:32
26F：→ linkismet: 1.兩個質點質量皆為M 放置在(0,1)(,0,-1) 03/30 09:33
27F：→ linkismet: 計算 放置在(1,0)，質點 m 受的引力 03/30 09:33
28F：→ linkismet: 2.兩個質點質量皆為M 放置在(0,100)(,0,-100) 03/30 09:33
29F：→ linkismet: 計算 放置在(1,0)，質點 m 受的引力 03/30 09:33
30F：→ linkismet: 兩個例子中 M和 M質心都在原點，但是對m造成引力不同 03/30 09:33
31F：→ linkismet: 不同質量分佈 造成的重力場不會一樣 03/30 09:33
32F：→ linkismet: 小心誤把特例，當成通則 03/30 09:36
33F：推 kkkk666: 所以除了萬有引力 質心受的力=各質點受力合? 03/30 10:36
34F：→ caseypie: 萬有引力也是質心受的力=各質點受力合..... 03/30 22:24
35F：→ caseypie: 但誰告訴你質心受的力可以直接拿質量除以距離平方？ 03/30 22:25