作者YOwOYa (雜雜)
看板Physics
標題[問題] 虛功原理為靜力平衡的充要條件
時間Wed Feb 22 12:00:08 2017
1.虛功原理闡明，若系統的虛功和為零，那該系統則處於靜力平衡，但質點的等速率圓周並非靜力平衡，然而虛功卻為零?
2.請問有辦法從牛頓力學(每個質點所受的外力皆為零)與變分法的技巧導出虛功原理嗎?
也就是當質點的虛功為零時，必然為靜力平衡。
(小弟也很好奇虛功原理這個原理是怎麼被想出來的)
在沒有約束時，很容易確定兩者等價，亦即F_x=F_y=F_z=0
但在有約束時，特別是非定常約束，
(
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E5%AE%9A%E5%B8%B8%E7%B3%BB%E7%B5%B1)，虛位移並不會是實位移，又怎麼確定兩者等價?
所以小弟猜想，應該能藉由數學，從牛頓力學導出虛功原理，再依樣畫葫蘆的得到達朗貝爾原理，不知這樣是否可行?
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2F：→ YOwOYa: %B8%B8%E7%B3%BB%E7%B5%B1 02/23 08:15
3F：→ YOwOYa: 連結好像有問題，在這裡補上 02/23 08:15
4F：→ yyc2008: 第一個問題 那是外部限制下的假設 因為半徑=定值 02/23 09:31
把圓周運動約束條件帶入，得到要達到虛功原理的條件是F_theta*r=0
r是非零常數，所以要求F_theta=0，然而等速率圓周運動也符合這個條件阿
5F：→ yyc2008: 且你不能只看徑向或切向 02/23 09:32
※ 編輯: YOwOYa (110.27.66.156), 02/23/2017 10:08:58
6F：→ wohtp: 圓周運動哪來的約束條件 02/23 10:40
7F：→ wohtp: 如果你是說角動量守恆，那可是系統本身的運動方程式 02/23 10:41
8F：→ wohtp: 你拿那個來當約束，就等於你把徑向的運動獨立出來當成一個 02/23 10:42
9F：→ wohtp: 等效一維系統 02/23 10:42
10F：→ wohtp: 半徑不變的時候，這個等效系統處於等效的靜力平衡沒錯 02/23 10:43
11F：→ wohtp: 但不代表底下的整個二維運動有靜力平衡這種事 02/23 10:44
滿足虛功原理，不就是達到靜力平衡嗎？
而我設約束條件再圓上，卻能得到在整個二維平面上不為靜力平衡的的運動，那滿足虛功原理他所代表的物理意義是什麼？
※ 編輯: YOwOYa (110.27.66.156), 02/23/2017 12:32:14
12F：→ wohtp: 再強調一次，二維的圓周運動沒有約束。 02/23 13:24
13F：→ wohtp: 你在做的是： 02/23 13:25
14F：→ wohtp: 1. 寫下一個一維模型 02/23 13:25
15F：→ wohtp: 2. 給定角動量 L，確認這個一維模型的運動方程式剛好跟二維 02/23 13:26
16F：→ wohtp: 圓周運動的徑向一樣 02/23 13:27
17F：→ wohtp: 3. 於是半徑不變的二維圓周運動可以用一維等效模型的靜力平 02/23 13:30
18F：→ wohtp: 衡來描述 02/23 13:30
19F：→ wohtp: 請注意二維那一邊，從開始到結束我們都沒有用到虛功，當然 02/23 13:32
20F：→ wohtp: 也說不上靜力平衡 02/23 13:32
21F：→ wohtp: 然後等下，你的所謂「約束條件」到底是角動量守恆還是直接 02/23 13:33
把軌道定死在正圓形上XDD
https://zh.m.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%84%E6%9D%9F_(%E7%B6%93%E5%85%B8%E5%8A%9B%E5%AD%B8)
22F：→ wohtp: 把軌道釘死在正圓型？ 02/23 13:34
每次連結都沒貼成QAQ
要整串複製才行，抱歉麻煩了Orz
連結是約束的定義，所以我給的自然是定在正圓上，而不是要求角動量守恆
※ 編輯: YOwOYa (39.12.73.141), 02/23/2017 14:05:35
※ 編輯: YOwOYa (39.12.73.141), 02/23/2017 14:07:20
23F：→ yyc2008: 約束條件下的約束力作所的功=0是理論假設 虛功原理指的是 02/23 14:37
可是這裡的約束力就是向心力，他的虛功確實為零呀
24F：→ yyc2008: 外力 02/23 14:37
※ 編輯: YOwOYa (39.12.73.141), 02/23/2017 15:03:35
25F：推 wohtp: 可是你不准半徑改變怎麼能說向心力的虛功？ 02/23 23:08
26F：推 wohtp: 如果你要把向心力當成虛功的外力，那就得一起考慮徑向位移 02/23 23:25
27F：→ wohtp: 虛功就不是零 02/23 23:25
28F：→ chpohoa: 向心F的方向會隨時間而變 不是靜態系統 02/28 01:10
29F：→ brianyjtai: 牛頓力學是向量力學，變分法極值的虛功定理是純量力學 02/28 23:03
30F：→ brianyjtai: 這是兩種不同的數學model去描述物理系統後的等價結果 02/28 23:06
31F：→ brianyjtai: 虛功、lagrange、hamiltonian都是用純量的數學系統 02/28 23:07
32F：→ brianyjtai: 算出來的大部分都是微方結果，叫eq. of motion 02/28 23:09
33F：→ brianyjtai: 同樣的，因為虛功原理是變分法的極值結果 02/28 23:11
34F：→ brianyjtai: 當你把路徑+constraint的函數S對路徑積分為最小值時 02/28 23:12
35F：→ brianyjtai: 才叫虛功為零，才能算能量守恆跟運動方程 02/28 23:13
36F：→ brianyjtai: 至於S怎麼加出來的自己參考微積分的lagrange定理 02/28 23:14
37F：→ brianyjtai: 最後提醒一點 L-H力學、牛頓力學雖然是描術同個系統 02/28 23:15
38F：→ brianyjtai: 有同樣的結果 但是它們是不同的兩種力學 別亂想 02/28 23:15
那總要能證明他們是等價的吧
※ 編輯: YOwOYa (110.28.91.243), 03/01/2017 10:41:51
39F：推 congeebone: 雖然中文維基寫系統處於靜態平衡若且唯若虛功為零，但 03/02 04:00
40F：→ congeebone: 我想了一下，應該是靜態平衡時保證虛功為零，反之則非 03/02 04:01
41F：→ congeebone: 必然。若是我這樣講的沒錯，那很容易證明。 03/02 04:02
42F：→ congeebone: 是故，要從虛功為零證靜態平衡本來就證不出來，你的憂 03/02 04:09
43F：→ congeebone: 慮沒錯。只不過那敘述本非虛功原理而已。 03/02 04:11
44F：→ congeebone: 當然，如果靜態平衡的定義是任意虛位移方向的加速度為 03/02 04:26
45F：→ congeebone: 零，那麼維基就沒錯，而你也舉的例子也可算"靜態平衡" 03/02 04:28
46F：→ congeebone: ，其實也就是wohtp所講的，"等效的靜力平衡"。 03/02 04:39
嗯因為這個問題我有去查許多關於平衡的定義XD
不知這樣是否正確：
力學平衡：系統所有質點的合力接為零，剛體只能為靜止或等速直線運動
靜力平衡：系統的靜力和靜力矩為零，剛體可為等速直線運動及繞質心等角速度運動
若定義靜態平衡為虛功為零，大概就能解決第一個問題了XD
※ 編輯: YOwOYa (114.35.77.233), 03/02/2017 22:41:42
47F：推 congeebone: 我所理解的靜力平衡(static equilibrium)的定義是：系 03/03 00:57
48F：→ congeebone: 統所有質點所受之淨力皆為零。 03/03 01:01
49F：→ congeebone: 若採那我的這個定義，虛功原理的敘述應該要是：若系統 03/03 01:02
50F：→ congeebone: 處於靜力平衡，則該系統之虛功合為零。 03/03 01:02
51F：→ congeebone: 反之則不必然成立，所以你第一個問題確實解決了。 03/03 01:03
52F：→ congeebone: 而如果你理解到虛功原理的敘述是這樣，那麼證明就不難 03/03 01:04
53F：→ congeebone: 才對，我沒看出有哪裡需要用到變分法。 03/03 01:05
54F：→ congeebone: 若想不出來，就直接看Goldstein力學第一章。 03/03 01:06
小弟高中而已，要弄到大學的書籍著實不容易Orz
對，那這樣虛功就必然為零了。我是想證明在有約束的情況下，牛頓第二運動定律與達朗貝爾原理等價，又或是從牛二推倒至達朗貝爾原理(畢竟照出現的先後順序是牛二先出來的)，尤於虛位移是個等時變分，故推測要用到變分法了。
※ 編輯: YOwOYa (110.28.215.144), 03/03/2017 08:09:55
55F：推 congeebone: 高中生啊，難怪這麼好學(? 這兩個原理與牛二等價性證 03/03 17:29
56F：→ congeebone: 明遠沒有你想的複雜，以虛功原理為例： 03/03 17:29
57F：→ congeebone: 1.將力F拆成約束力F_c與非約束力F_a 03/03 17:29
58F：→ congeebone: 2.因靜力平衡 F=0，故 (F_c+F_a)．δr=0 03/03 17:29
59F：→ congeebone: 3.約束力依定義，必須滿足 F_c．δr=0 03/03 17:29
60F：→ congeebone: 4.是故靜力平衡之系統滿足 F_a．δr=0 03/03 17:29
61F：→ congeebone: (裡面的F_c等符號都是向量，δr是虛位移) 03/03 17:29
62F：→ congeebone: 達朗貝爾原理的證明就依樣畫葫蘆，只是少了靜力平衡 03/03 17:29
63F：→ congeebone: 的條件，所以是從F=dp/dt出發。 03/03 17:29
65F：→ congeebone: 如果讀英文不吃力的話，建議還是看一下。 03/03 17:39
66F：→ YOwOYa: 謝謝C大如此認真的回答，謝謝！ 03/04 16:04
67F：→ YOwOYa: 喔我原本的問題是出在，在有約束時虛位移不是完全任意的， 03/04 16:04
68F：→ YOwOYa: 那怎麼確定從達朗貝爾解出來的解必定等價於牛二。 03/04 16:04
69F：→ YOwOYa: 不過後來我是這麼解釋的， 03/04 16:04
70F：→ YOwOYa: 引入虛位移的一大目的： 03/04 16:04
71F：→ YOwOYa: 只討論約束面上的運動方程。 03/04 16:04
72F：→ YOwOYa: 比如說約束在xy平面上，那這樣帶入達朗貝爾原理後，得到的 03/04 16:04
73F：→ YOwOYa: 方程式並不要求F-ma_z=0，但那也不是我們感興趣的事，我們 03/04 16:04
74F：→ YOwOYa: 只要討論他在約束面上的運動就好了。 03/04 16:04
75F：→ YOwOYa: 另一個就是可以把約束力消除。 03/04 16:04
76F：→ YOwOYa: 而虛功原理就是只討論約束面上的靜力為零，但對於垂直約束 03/04 16:04
77F：→ YOwOYa: 面的力我們不感興趣，故我第一個問題時能行等速率圓周運動 03/04 16:04
78F：→ YOwOYa: 的。 03/04 16:04
79F：→ YOwOYa: 接著只要在引入廣義座標後就能導處拉格朗日方程式了，只是 03/04 16:04
80F：→ YOwOYa: 廣義座標中的獨立座標雖然滿直觀的，但他在數學上應該也有 03/04 16:04
81F：→ YOwOYa: 他嚴謹的定義吧，不過這個似乎就有點棘手了，小弟對嚴謹的 03/04 16:04
82F：→ YOwOYa: 數學也不甚感興趣，所以就想到這裡吧XD 03/04 16:04
83F：→ YOwOYa: 再次感謝大大的回應！謝謝！ 03/04 16:04
84F：→ congeebone: 不客氣~ 03/04 18:21
85F：→ congeebone: 你的解釋沒錯，達朗貝爾之解當然要回頭再加上原本的 03/04 18:21
86F：→ congeebone: 約束條件之後才是完整的解，一開始避免用到"約束力實 03/04 18:21
87F：→ congeebone: 際長怎樣"而只知道"約束條件"就能解問題就是它的意義 03/04 18:21
88F：→ congeebone: 。至於廣義座標，你能直觀理解當然是最好，確實還沒 03/04 18:21
89F：→ congeebone: 有必要去碰"微分流形"之類比較抽象的數學。 03/04 18:21
喔對了可以另外問個問題嗎XD
為什麼虛位移的始末兩端為零阿？
還是只是這樣定義讓他可以簡化成我們現在看到的哈密頓原理？
(這也是為什麼我一開始覺得要用變分法的原因)
※ 編輯: YOwOYa (114.35.77.233), 03/05/2017 00:41:15
90F：→ congeebone: 虛位移不牽涉時間，所以應該也沒有"始末"？在討論哈 03/05 00:54
91F：→ congeebone: 密頓原理原理的時候應該才會有端點固定的問題？ 03/05 00:54
就是如果哈密頓原理從t1積到t2，那麼則：
δr1δr20
換做廣義座標的話
δq_α1δq_α20
即所謂始末為零，這點小弟不是很能理解，還是就是定義而已(？)
啊啊啊啊我在問下去會越問越遠阿XD
※ 編輯: YOwOYa (114.35.77.233), 03/05/2017 10:32:05
92F：→ congeebone: 簡單的答案是：沒有為什麼，因為這樣才能跑出正確的 03/05 17:32
93F：→ congeebone: 運動方程。 03/05 17:32
94F：→ congeebone: 你實際在對作用量變分的時候，會跑出兩個與端點(始末 03/05 17:32
95F：→ congeebone: )有關的boundary terms，若沒有這個要求就無法幹掉他 03/05 17:32
96F：→ congeebone: 們，也就無法跑出Euler-Lagrange eqn。 03/05 17:32
97F：→ congeebone: 有沒有更深的理由？我不敢說。 03/05 17:32
98F：→ congeebone: 你現在是在自學大學物理？那就多問，我想許多人包括 03/05 17:35
99F：→ congeebone: 我都很樂意回答。 03/05 17:35
我會有疑惑是因為在一開始引進虛位移得到達朗貝爾原理時，並沒有對他做這個要求也可以得到拉格朗日方程。
但由達朗貝爾原理導到哈密頓原理時，若不把那項積分項殺掉(始末變分為零)，就不能得到與拉格朗日方程等價的哈密頓原理了。
小弟目前說服自己的方式是，始末兩端的位置是固定的，故不能在此刻加上虛位移，那是沒有意義的。
※ 編輯: YOwOYa (114.35.77.233), 03/05/2017 20:41:59
100F：→ congeebone: 虛位移只是在某個時間點上作變化，變分是一段時間區 03/06 00:54
101F：→ congeebone: 間上的每點都做變化，所以前者根本沒有端點處固定的 03/06 00:54
102F：→ congeebone: 問題，後者有一段時間，才能談論開始和結束兩個時間 03/06 00:54
103F：→ congeebone: 點處的變分是否要是零。 03/06 00:54