作者YOwOYa (杂杂)
看板Physics
标题[问题] 虚功原理为静力平衡的充要条件
时间Wed Feb 22 12:00:08 2017
1.虚功原理阐明，若系统的虚功和为零，那该系统则处於静力平衡，但质点的等速率圆周并非静力平衡，然而虚功却为零?
2.请问有办法从牛顿力学(每个质点所受的外力皆为零)与变分法的技巧导出虚功原理吗?
也就是当质点的虚功为零时，必然为静力平衡。
(小弟也很好奇虚功原理这个原理是怎麽被想出来的)
在没有约束时，很容易确定两者等价，亦即F_x=F_y=F_z=0
但在有约束时，特别是非定常约束，
(
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%9E%E5%AE%9A%E5%B8%B8%E7%B3%BB%E7%B5%B1)，虚位移并不会是实位移，又怎麽确定两者等价?
所以小弟猜想，应该能藉由数学，从牛顿力学导出虚功原理，再依样画葫芦的得到达朗贝尔原理，不知这样是否可行?
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2F：→ YOwOYa: %B8%B8%E7%B3%BB%E7%B5%B1 02/23 08:15
3F：→ YOwOYa: 连结好像有问题，在这里补上 02/23 08:15
4F：→ yyc2008: 第一个问题 那是外部限制下的假设 因为半径=定值 02/23 09:31
把圆周运动约束条件带入，得到要达到虚功原理的条件是F_theta*r=0
r是非零常数，所以要求F_theta=0，然而等速率圆周运动也符合这个条件阿
5F：→ yyc2008: 且你不能只看径向或切向 02/23 09:32
※ 编辑: YOwOYa (110.27.66.156), 02/23/2017 10:08:58
6F：→ wohtp: 圆周运动哪来的约束条件 02/23 10:40
7F：→ wohtp: 如果你是说角动量守恒，那可是系统本身的运动方程式 02/23 10:41
8F：→ wohtp: 你拿那个来当约束，就等於你把径向的运动独立出来当成一个 02/23 10:42
9F：→ wohtp: 等效一维系统 02/23 10:42
10F：→ wohtp: 半径不变的时候，这个等效系统处於等效的静力平衡没错 02/23 10:43
11F：→ wohtp: 但不代表底下的整个二维运动有静力平衡这种事 02/23 10:44
满足虚功原理，不就是达到静力平衡吗？
而我设约束条件再圆上，却能得到在整个二维平面上不为静力平衡的的运动，那满足虚功原理他所代表的物理意义是什麽？
※ 编辑: YOwOYa (110.27.66.156), 02/23/2017 12:32:14
12F：→ wohtp: 再强调一次，二维的圆周运动没有约束。 02/23 13:24
13F：→ wohtp: 你在做的是： 02/23 13:25
14F：→ wohtp: 1. 写下一个一维模型 02/23 13:25
15F：→ wohtp: 2. 给定角动量 L，确认这个一维模型的运动方程式刚好跟二维 02/23 13:26
16F：→ wohtp: 圆周运动的径向一样 02/23 13:27
17F：→ wohtp: 3. 於是半径不变的二维圆周运动可以用一维等效模型的静力平 02/23 13:30
18F：→ wohtp: 衡来描述 02/23 13:30
19F：→ wohtp: 请注意二维那一边，从开始到结束我们都没有用到虚功，当然 02/23 13:32
20F：→ wohtp: 也说不上静力平衡 02/23 13:32
21F：→ wohtp: 然後等下，你的所谓「约束条件」到底是角动量守恒还是直接 02/23 13:33
把轨道定死在正圆形上XDD
https://zh.m.wikipedia.org/wiki/%E7%B4%84%E6%9D%9F_(%E7%B6%93%E5%85%B8%E5%8A%9B%E5%AD%B8)
22F：→ wohtp: 把轨道钉死在正圆型？ 02/23 13:34
每次连结都没贴成QAQ
要整串复制才行，抱歉麻烦了Orz
连结是约束的定义，所以我给的自然是定在正圆上，而不是要求角动量守恒
※ 编辑: YOwOYa (39.12.73.141), 02/23/2017 14:05:35
※ 编辑: YOwOYa (39.12.73.141), 02/23/2017 14:07:20
23F：→ yyc2008: 约束条件下的约束力作所的功=0是理论假设 虚功原理指的是 02/23 14:37
可是这里的约束力就是向心力，他的虚功确实为零呀
24F：→ yyc2008: 外力 02/23 14:37
※ 编辑: YOwOYa (39.12.73.141), 02/23/2017 15:03:35
25F：推 wohtp: 可是你不准半径改变怎麽能说向心力的虚功？ 02/23 23:08
26F：推 wohtp: 如果你要把向心力当成虚功的外力，那就得一起考虑径向位移 02/23 23:25
27F：→ wohtp: 虚功就不是零 02/23 23:25
28F：→ chpohoa: 向心F的方向会随时间而变 不是静态系统 02/28 01:10
29F：→ brianyjtai: 牛顿力学是向量力学，变分法极值的虚功定理是纯量力学 02/28 23:03
30F：→ brianyjtai: 这是两种不同的数学model去描述物理系统後的等价结果 02/28 23:06
31F：→ brianyjtai: 虚功、lagrange、hamiltonian都是用纯量的数学系统 02/28 23:07
32F：→ brianyjtai: 算出来的大部分都是微方结果，叫eq. of motion 02/28 23:09
33F：→ brianyjtai: 同样的，因为虚功原理是变分法的极值结果 02/28 23:11
34F：→ brianyjtai: 当你把路径+constraint的函数S对路径积分为最小值时 02/28 23:12
35F：→ brianyjtai: 才叫虚功为零，才能算能量守恒跟运动方程 02/28 23:13
36F：→ brianyjtai: 至於S怎麽加出来的自己参考微积分的lagrange定理 02/28 23:14
37F：→ brianyjtai: 最後提醒一点 L-H力学、牛顿力学虽然是描术同个系统 02/28 23:15
38F：→ brianyjtai: 有同样的结果 但是它们是不同的两种力学 别乱想 02/28 23:15
那总要能证明他们是等价的吧
※ 编辑: YOwOYa (110.28.91.243), 03/01/2017 10:41:51
39F：推 congeebone: 虽然中文维基写系统处於静态平衡若且唯若虚功为零，但 03/02 04:00
40F：→ congeebone: 我想了一下，应该是静态平衡时保证虚功为零，反之则非 03/02 04:01
41F：→ congeebone: 必然。若是我这样讲的没错，那很容易证明。 03/02 04:02
42F：→ congeebone: 是故，要从虚功为零证静态平衡本来就证不出来，你的忧 03/02 04:09
43F：→ congeebone: 虑没错。只不过那叙述本非虚功原理而已。 03/02 04:11
44F：→ congeebone: 当然，如果静态平衡的定义是任意虚位移方向的加速度为 03/02 04:26
45F：→ congeebone: 零，那麽维基就没错，而你也举的例子也可算"静态平衡" 03/02 04:28
46F：→ congeebone: ，其实也就是wohtp所讲的，"等效的静力平衡"。 03/02 04:39
嗯因为这个问题我有去查许多关於平衡的定义XD
不知这样是否正确：
力学平衡：系统所有质点的合力接为零，刚体只能为静止或等速直线运动
静力平衡：系统的静力和静力矩为零，刚体可为等速直线运动及绕质心等角速度运动
若定义静态平衡为虚功为零，大概就能解决第一个问题了XD
※ 编辑: YOwOYa (114.35.77.233), 03/02/2017 22:41:42
47F：推 congeebone: 我所理解的静力平衡(static equilibrium)的定义是：系 03/03 00:57
48F：→ congeebone: 统所有质点所受之净力皆为零。 03/03 01:01
49F：→ congeebone: 若采那我的这个定义，虚功原理的叙述应该要是：若系统 03/03 01:02
50F：→ congeebone: 处於静力平衡，则该系统之虚功合为零。 03/03 01:02
51F：→ congeebone: 反之则不必然成立，所以你第一个问题确实解决了。 03/03 01:03
52F：→ congeebone: 而如果你理解到虚功原理的叙述是这样，那麽证明就不难 03/03 01:04
53F：→ congeebone: 才对，我没看出有哪里需要用到变分法。 03/03 01:05
54F：→ congeebone: 若想不出来，就直接看Goldstein力学第一章。 03/03 01:06
小弟高中而已，要弄到大学的书籍着实不容易Orz
对，那这样虚功就必然为零了。我是想证明在有约束的情况下，牛顿第二运动定律与达朗贝尔原理等价，又或是从牛二推倒至达朗贝尔原理(毕竟照出现的先後顺序是牛二先出来的)，尤於虚位移是个等时变分，故推测要用到变分法了。
※ 编辑: YOwOYa (110.28.215.144), 03/03/2017 08:09:55
55F：推 congeebone: 高中生啊，难怪这麽好学(? 这两个原理与牛二等价性证 03/03 17:29
56F：→ congeebone: 明远没有你想的复杂，以虚功原理为例： 03/03 17:29
57F：→ congeebone: 1.将力F拆成约束力F_c与非约束力F_a 03/03 17:29
58F：→ congeebone: 2.因静力平衡 F=0，故 (F_c+F_a)．δr=0 03/03 17:29
59F：→ congeebone: 3.约束力依定义，必须满足 F_c．δr=0 03/03 17:29
60F：→ congeebone: 4.是故静力平衡之系统满足 F_a．δr=0 03/03 17:29
61F：→ congeebone: (里面的F_c等符号都是向量，δr是虚位移) 03/03 17:29
62F：→ congeebone: 达朗贝尔原理的证明就依样画葫芦，只是少了静力平衡 03/03 17:29
63F：→ congeebone: 的条件，所以是从F=dp/dt出发。 03/03 17:29
65F：→ congeebone: 如果读英文不吃力的话，建议还是看一下。 03/03 17:39
66F：→ YOwOYa: 谢谢C大如此认真的回答，谢谢！ 03/04 16:04
67F：→ YOwOYa: 喔我原本的问题是出在，在有约束时虚位移不是完全任意的， 03/04 16:04
68F：→ YOwOYa: 那怎麽确定从达朗贝尔解出来的解必定等价於牛二。 03/04 16:04
69F：→ YOwOYa: 不过後来我是这麽解释的， 03/04 16:04
70F：→ YOwOYa: 引入虚位移的一大目的： 03/04 16:04
71F：→ YOwOYa: 只讨论约束面上的运动方程。 03/04 16:04
72F：→ YOwOYa: 比如说约束在xy平面上，那这样带入达朗贝尔原理後，得到的 03/04 16:04
73F：→ YOwOYa: 方程式并不要求F-ma_z=0，但那也不是我们感兴趣的事，我们 03/04 16:04
74F：→ YOwOYa: 只要讨论他在约束面上的运动就好了。 03/04 16:04
75F：→ YOwOYa: 另一个就是可以把约束力消除。 03/04 16:04
76F：→ YOwOYa: 而虚功原理就是只讨论约束面上的静力为零，但对於垂直约束 03/04 16:04
77F：→ YOwOYa: 面的力我们不感兴趣，故我第一个问题时能行等速率圆周运动 03/04 16:04
78F：→ YOwOYa: 的。 03/04 16:04
79F：→ YOwOYa: 接着只要在引入广义座标後就能导处拉格朗日方程式了，只是 03/04 16:04
80F：→ YOwOYa: 广义座标中的独立座标虽然满直观的，但他在数学上应该也有 03/04 16:04
81F：→ YOwOYa: 他严谨的定义吧，不过这个似乎就有点棘手了，小弟对严谨的 03/04 16:04
82F：→ YOwOYa: 数学也不甚感兴趣，所以就想到这里吧XD 03/04 16:04
83F：→ YOwOYa: 再次感谢大大的回应！谢谢！ 03/04 16:04
84F：→ congeebone: 不客气~ 03/04 18:21
85F：→ congeebone: 你的解释没错，达朗贝尔之解当然要回头再加上原本的 03/04 18:21
86F：→ congeebone: 约束条件之後才是完整的解，一开始避免用到"约束力实 03/04 18:21
87F：→ congeebone: 际长怎样"而只知道"约束条件"就能解问题就是它的意义 03/04 18:21
88F：→ congeebone: 。至於广义座标，你能直观理解当然是最好，确实还没 03/04 18:21
89F：→ congeebone: 有必要去碰"微分流形"之类比较抽象的数学。 03/04 18:21
喔对了可以另外问个问题吗XD
为什麽虚位移的始末两端为零阿？
还是只是这样定义让他可以简化成我们现在看到的哈密顿原理？
(这也是为什麽我一开始觉得要用变分法的原因)
※ 编辑: YOwOYa (114.35.77.233), 03/05/2017 00:41:15
90F：→ congeebone: 虚位移不牵涉时间，所以应该也没有"始末"？在讨论哈 03/05 00:54
91F：→ congeebone: 密顿原理原理的时候应该才会有端点固定的问题？ 03/05 00:54
就是如果哈密顿原理从t1积到t2，那麽则：
δr1δr20
换做广义座标的话
δq_α1δq_α20
即所谓始末为零，这点小弟不是很能理解，还是就是定义而已(？)
啊啊啊啊我在问下去会越问越远阿XD
※ 编辑: YOwOYa (114.35.77.233), 03/05/2017 10:32:05
92F：→ congeebone: 简单的答案是：没有为什麽，因为这样才能跑出正确的 03/05 17:32
93F：→ congeebone: 运动方程。 03/05 17:32
94F：→ congeebone: 你实际在对作用量变分的时候，会跑出两个与端点(始末 03/05 17:32
95F：→ congeebone: )有关的boundary terms，若没有这个要求就无法干掉他 03/05 17:32
96F：→ congeebone: 们，也就无法跑出Euler-Lagrange eqn。 03/05 17:32
97F：→ congeebone: 有没有更深的理由？我不敢说。 03/05 17:32
98F：→ congeebone: 你现在是在自学大学物理？那就多问，我想许多人包括 03/05 17:35
99F：→ congeebone: 我都很乐意回答。 03/05 17:35
我会有疑惑是因为在一开始引进虚位移得到达朗贝尔原理时，并没有对他做这个要求也可以得到拉格朗日方程。
但由达朗贝尔原理导到哈密顿原理时，若不把那项积分项杀掉(始末变分为零)，就不能得到与拉格朗日方程等价的哈密顿原理了。
小弟目前说服自己的方式是，始末两端的位置是固定的，故不能在此刻加上虚位移，那是没有意义的。
※ 编辑: YOwOYa (114.35.77.233), 03/05/2017 20:41:59
100F：→ congeebone: 虚位移只是在某个时间点上作变化，变分是一段时间区 03/06 00:54
101F：→ congeebone: 间上的每点都做变化，所以前者根本没有端点处固定的 03/06 00:54
102F：→ congeebone: 问题，後者有一段时间，才能谈论开始和结束两个时间 03/06 00:54
103F：→ congeebone: 点处的变分是否要是零。 03/06 00:54