作者YOwOYa (Anywayne)
看板Physics
標題[問題] 角速度的定義
時間Sun Dec 11 11:57:10 2016
小弟來ptt不久，本篇更是首po，若文章中有任何不妥之處，還望各位大大提醒，小弟會立即修正。
小弟以前對角速度的定義都是如同維基所寫的:
https://zh.m.wikipedia.org/zh-tw/角速度
即w=rxv/r^2
雖然這個定義下得到的w，並不是很直觀，但能藉此導出v_theta=rxw，也算是很方便了。
(v_theta指的是v-v_r即只有垂直徑向的速度
但最近看到一個新的定義，讓小弟有些困惑
首先由
http://i.imgur.com/YevHr98.jpg
(本圖非小弟所寫，但已經過當事人同意
可得到一旋轉矩陣，且由於二階微量可視為零，故不管先轉任一軸，其結果皆相同。
那麼位置向量r做一小旋轉變成r'
http://i.imgur.com/41yQ1sT.jpg
也就是當沒有徑向速度v_r時，速度可以以此形式表示。
但以我原本對w的定義，似乎等同於這裡的d(theta)/dt
所以小弟就開始試這證明這兩者相同，卻得到很奇怪的結論。
由原先的w=rxv/r^2
http://i.imgur.com/cgSqrCs.jpg
如果這裡的w_x dt=d(alpha)
那麼這個證明基本上就成功了，所以我開始找d(alpha)的形式
用y,z軸建立一極座標平面，alpha為位置向量與y軸的夾角。
http://i.imgur.com/ej9629w.jpg
就差那麼一點！！
我得到的d(alpha)和w_x dt在分母差了一個(r_x)^2阿！！
難道這裡的w和d(theta)/dt就真的不等於嗎？
但兩者和r做外積，卻都能得到垂直於徑向的速度！
只是差在原先定義的w就算有徑向速度也能計算，
後者在推導時卻是假設沒有徑向速度
(即r^2是constant，只做旋轉
也就是w×r=v-v_r是由定義可得到的
(把w=rxv/r^2帶入，由向量三重積得
但d(theta)/dt x r在有徑向速度時，原先的推導就不可用(或說需修正
兩者只差只在此而已，但我算出的w_x dt 卻不等於d(alpha)，是兩者真的不相同嗎？
還是我的過程出錯了？
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.35.77.233
※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Physics/M.1481428632.A.454.html
1F：推 skn60694: r=!r^2=r_x^2+r_y^2 12/11 12:12
如果大大指的是最後一張圖，那是因為小弟在分子分母同乘已r，所以分母變成r^2，分子會有r_y,r_y出現
小弟回覆也是第一次…應該是這麼做沒錯w
大大指的是極座標那邊的過程錯誤嗎？
※ 編輯: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 12:15:52
※ 編輯: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 12:18:46
2F：推 skn60694: 把r消掉 然後小角度近似 12/11 12:18
3F：→ skn60694: 或者比較懶惰的做法 寫出座標轉換矩陣R dr=(R-1)r 12/11 12:20
4F：→ skn60694: 對(R-1)小角度近似 主對角線就會不見了 12/11 12:21
http://i.imgur.com/o0aAcwD.jpg
是的，可以寫成這樣
可是接下來的步驟要跟我原本的方法不一樣，小弟就不懂了Orz
5F：推 skn60694: 看到背後筆記 應該是在上古典力學吧 Goldstein裡面有 12/11 12:23
沒有啦，小弟高中生而已，這些是自己興趣學的XD
其實關於很多這類的書籍，我都不知道要去哪買QQ
※ 編輯: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 12:24:26
※ 編輯: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 12:35:15
※ 編輯: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 12:36:42
6F：推 skn60694: 應該是wiki的公式有問題 他是假設在垂直平面上 12/11 12:37
真假Orz
照維基的定義，我的理解方式是:
在三維座標中，一垂直於徑向的速度，順時可看做形成一平面，而這個w值，就是在此平面上的角速度，且方向與平面垂直。
如果wiki是錯的，那對於速度可以用v=w×r，只能說是剛好囉？
7F：→ skn60694: 可是如果r與w不垂直 r與v外積出來的不會平行於w 12/11 12:39
8F：→ skn60694: 所以r應該就是與轉軸的距離 沒有r_x^2 12/11 12:40
對欸，照wiki的方式去算，w永遠會垂直於r，這似乎不太正確
9F：推 mizys: 話說這東西我好像在力學的課用沒幾次 12/11 12:40
10F：→ mizys: 像這種大學教科書，一般書局沒在賣，你可以到一些大學的 12/11 12:43
11F：→ mizys: 圖書館翻翻看，真有需要在買，不然就是找有沒有pdf檔 12/11 12:43
目前都是看pdf+開放式課程，不過理論力學好像沒有開放式課程就是QQ
※ 編輯: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 12:44:05
12F：推 skn60694: 參考座標怎麼取的問題 他將原點定義在轉軸離點最近的地 12/11 12:48
13F：→ skn60694: 方 你應該是取在軸上不一定的地方 所以中間的距離r_x 12/11 12:49
※ 編輯: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 12:49:42
14F：→ skn60694: 在wiki上沒出現 你卻會出現 12/11 12:49
※ 編輯: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 12:51:15
15F：推 skn60694: 也不能說錯 只是有問題 wiki的座標取法是你的取法的特例 12/11 12:55
16F：→ skn60694: 沒有講清楚會引起誤會 但講清楚後還是一樣的 12/11 12:56
因為力矩的定義，就會因座標選取而改變，所以當初在弄這裡也就這麼想了XD
http://i.imgur.com/v6UOjd4.jpg
如果這樣定義，比方說w_x，就只看v,r在yz的大小，那麼就能跟d(theta)/dt的定義相符了，只是對於這樣的v=rxw我還要在算一下ww
17F：推 mizys: youtube倒是有不過是英文的 講的也沒特別好 12/11 12:57
英文不好Orz
不過可以去找找看，謝謝您！
18F：推 skn60694: 個人很喜歡古典力學 不過大二時沒讀通 Lagrangian與Hami 12/11 13:05
可能是因為還沒讀量物的關係，其實我至今不懂為何理論力學會有如此重要的地位
比方說理論力學就要在理想約束，完整約束下才好用
雖然這很常見，但並沒有牛頓力學來的普遍阿！
想來是我學的不夠QQ
是說到正則變換我就完全看不懂了XD
19F：→ skn60694: ltonian力學的物理圖像是在光學/量物/流力裡面才找到的 12/11 13:06
※ 編輯: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 13:22:31
※ 編輯: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 13:23:19
※ 編輯: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 13:30:33
20F：推 mizys: 正則變換就是，lagrangianㄧ開始用的就是廣義坐標，你高 12/11 14:59
21F：→ mizys: 興怎麼變lagrangian的公式還是不變，但Hamiltonian就不一 12/11 14:59
22F：→ mizys: 樣了，因為它有兩個坐標p,q以我們的目的就是找什麼變換下 12/11 14:59
23F：→ mizys: 使Hamilton形式不變，這個就叫正則變換 12/11 14:59
24F：推 mizys: 你說要普遍牛頓力學也沒很普遍 反而學Hamiltonian或lagrang 12/11 15:04
25F：→ mizys: ian在電磁學還量子力學都適用 重點是考慮相對論後依然適用 12/11 15:05
26F：推 wohtp: lagrangian 可以從簡單一維時間推廣到n維時空 12/11 15:18
27F：→ wohtp: 但是hamiltonian 把時間硬性分出來，跟相對論不太合拍吧 12/11 15:19
28F：→ wohtp: 所以你看高能的起手式lagrangian action 12/11 15:21
29F：→ wohtp: *都是 12/11 15:22
30F：推 mizys: 也是拉 我教授說高能的一般都用lagrangian 統力用Hamiltoni 12/11 15:23
可以請教一下什麼是高能嗎？XD
google找不太到
31F：→ YOwOYa: 剛導了老半天還是導不出來Orz 12/11 15:49
32F：→ YOwOYa: 在平面極座標下，wxr只有theta方向的速度，而沒有r方向的 12/11 15:49
33F：→ YOwOYa: 速度。 12/11 15:49
34F：→ YOwOYa: 那麼在三維空間中，若存在一w，要怎麼證明wxr不含徑向速度 12/11 15:49
35F：→ YOwOYa: ？ 12/11 15:49
36F：→ Vulpix: 跟r垂直啊。 12/11 16:05
阿…抱歉，沒表達很清楚，我的意思是wxr包含了整個垂直徑向的速度，及可以寫成
http://i.imgur.com/lw40Ohg.jpg
※ 編輯: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 16:24:38
37F：→ YOwOYa: 其實好像就只是垂直與r沒錯而已ww 12/11 16:33
38F：→ YOwOYa: 想一整天有點亂了，我休息一下好了Orz 12/11 16:33
39F：→ YOwOYa: 看來是因為平常在算是比較懶，習慣用平面極座標，所以會想 12/11 18:38
40F：→ YOwOYa: 要把速度分成徑向速度和w×r， 12/11 18:38
41F：→ YOwOYa: 剛剛發現光是柱座標就無法達到這點了。 12/11 18:38
42F：→ YOwOYa: 不過這下總算弄懂角速度的定義了，謝謝樓上諸位大大！！ 12/11 18:38
※ 編輯: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 21:36:59