作者YOwOYa (Anywayne)
看板Physics
标题[问题] 角速度的定义
时间Sun Dec 11 11:57:10 2016
小弟来ptt不久，本篇更是首po，若文章中有任何不妥之处，还望各位大大提醒，小弟会立即修正。
小弟以前对角速度的定义都是如同维基所写的:
https://zh.m.wikipedia.org/zh-tw/角速度
即w=rxv/r^2
虽然这个定义下得到的w，并不是很直观，但能藉此导出v_theta=rxw，也算是很方便了。
(v_theta指的是v-v_r即只有垂直径向的速度
但最近看到一个新的定义，让小弟有些困惑
首先由
http://i.imgur.com/YevHr98.jpg
(本图非小弟所写，但已经过当事人同意
可得到一旋转矩阵，且由於二阶微量可视为零，故不管先转任一轴，其结果皆相同。
那麽位置向量r做一小旋转变成r'
http://i.imgur.com/41yQ1sT.jpg
也就是当没有径向速度v_r时，速度可以以此形式表示。
但以我原本对w的定义，似乎等同於这里的d(theta)/dt
所以小弟就开始试这证明这两者相同，却得到很奇怪的结论。
由原先的w=rxv/r^2
http://i.imgur.com/cgSqrCs.jpg
如果这里的w_x dt=d(alpha)
那麽这个证明基本上就成功了，所以我开始找d(alpha)的形式
用y,z轴建立一极座标平面，alpha为位置向量与y轴的夹角。
http://i.imgur.com/ej9629w.jpg
就差那麽一点！！
我得到的d(alpha)和w_x dt在分母差了一个(r_x)^2阿！！
难道这里的w和d(theta)/dt就真的不等於吗？
但两者和r做外积，却都能得到垂直於径向的速度！
只是差在原先定义的w就算有径向速度也能计算，
後者在推导时却是假设没有径向速度
(即r^2是constant，只做旋转
也就是w×r=v-v_r是由定义可得到的
(把w=rxv/r^2带入，由向量三重积得
但d(theta)/dt x r在有径向速度时，原先的推导就不可用(或说需修正
两者只差只在此而已，但我算出的w_x dt 却不等於d(alpha)，是两者真的不相同吗？
还是我的过程出错了？
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 114.35.77.233
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Physics/M.1481428632.A.454.html
1F：推 skn60694: r=!r^2=r_x^2+r_y^2 12/11 12:12
如果大大指的是最後一张图，那是因为小弟在分子分母同乘已r，所以分母变成r^2，分子会有r_y,r_y出现
小弟回覆也是第一次…应该是这麽做没错w
大大指的是极座标那边的过程错误吗？
※ 编辑: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 12:15:52
※ 编辑: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 12:18:46
2F：推 skn60694: 把r消掉 然後小角度近似 12/11 12:18
3F：→ skn60694: 或者比较懒惰的做法 写出座标转换矩阵R dr=(R-1)r 12/11 12:20
4F：→ skn60694: 对(R-1)小角度近似 主对角线就会不见了 12/11 12:21
http://i.imgur.com/o0aAcwD.jpg
是的，可以写成这样
可是接下来的步骤要跟我原本的方法不一样，小弟就不懂了Orz
5F：推 skn60694: 看到背後笔记 应该是在上古典力学吧 Goldstein里面有 12/11 12:23
没有啦，小弟高中生而已，这些是自己兴趣学的XD
其实关於很多这类的书籍，我都不知道要去哪买QQ
※ 编辑: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 12:24:26
※ 编辑: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 12:35:15
※ 编辑: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 12:36:42
6F：推 skn60694: 应该是wiki的公式有问题 他是假设在垂直平面上 12/11 12:37
真假Orz
照维基的定义，我的理解方式是:
在三维座标中，一垂直於径向的速度，顺时可看做形成一平面，而这个w值，就是在此平面上的角速度，且方向与平面垂直。
如果wiki是错的，那对於速度可以用v=w×r，只能说是刚好罗？
7F：→ skn60694: 可是如果r与w不垂直 r与v外积出来的不会平行於w 12/11 12:39
8F：→ skn60694: 所以r应该就是与转轴的距离 没有r_x^2 12/11 12:40
对欸，照wiki的方式去算，w永远会垂直於r，这似乎不太正确
9F：推 mizys: 话说这东西我好像在力学的课用没几次 12/11 12:40
10F：→ mizys: 像这种大学教科书，一般书局没在卖，你可以到一些大学的 12/11 12:43
11F：→ mizys: 图书馆翻翻看，真有需要在买，不然就是找有没有pdf档 12/11 12:43
目前都是看pdf+开放式课程，不过理论力学好像没有开放式课程就是QQ
※ 编辑: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 12:44:05
12F：推 skn60694: 参考座标怎麽取的问题 他将原点定义在转轴离点最近的地 12/11 12:48
13F：→ skn60694: 方 你应该是取在轴上不一定的地方 所以中间的距离r_x 12/11 12:49
※ 编辑: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 12:49:42
14F：→ skn60694: 在wiki上没出现 你却会出现 12/11 12:49
※ 编辑: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 12:51:15
15F：推 skn60694: 也不能说错 只是有问题 wiki的座标取法是你的取法的特例 12/11 12:55
16F：→ skn60694: 没有讲清楚会引起误会 但讲清楚後还是一样的 12/11 12:56
因为力矩的定义，就会因座标选取而改变，所以当初在弄这里也就这麽想了XD
http://i.imgur.com/v6UOjd4.jpg
如果这样定义，比方说w_x，就只看v,r在yz的大小，那麽就能跟d(theta)/dt的定义相符了，只是对於这样的v=rxw我还要在算一下ww
17F：推 mizys: youtube倒是有不过是英文的 讲的也没特别好 12/11 12:57
英文不好Orz
不过可以去找找看，谢谢您！
18F：推 skn60694: 个人很喜欢古典力学 不过大二时没读通 Lagrangian与Hami 12/11 13:05
可能是因为还没读量物的关系，其实我至今不懂为何理论力学会有如此重要的地位
比方说理论力学就要在理想约束，完整约束下才好用
虽然这很常见，但并没有牛顿力学来的普遍阿！
想来是我学的不够QQ
是说到正则变换我就完全看不懂了XD
19F：→ skn60694: ltonian力学的物理图像是在光学/量物/流力里面才找到的 12/11 13:06
※ 编辑: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 13:22:31
※ 编辑: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 13:23:19
※ 编辑: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 13:30:33
20F：推 mizys: 正则变换就是，lagrangianㄧ开始用的就是广义坐标，你高 12/11 14:59
21F：→ mizys: 兴怎麽变lagrangian的公式还是不变，但Hamiltonian就不一 12/11 14:59
22F：→ mizys: 样了，因为它有两个坐标p,q以我们的目的就是找什麽变换下 12/11 14:59
23F：→ mizys: 使Hamilton形式不变，这个就叫正则变换 12/11 14:59
24F：推 mizys: 你说要普遍牛顿力学也没很普遍 反而学Hamiltonian或lagrang 12/11 15:04
25F：→ mizys: ian在电磁学还量子力学都适用 重点是考虑相对论後依然适用 12/11 15:05
26F：推 wohtp: lagrangian 可以从简单一维时间推广到n维时空 12/11 15:18
27F：→ wohtp: 但是hamiltonian 把时间硬性分出来，跟相对论不太合拍吧 12/11 15:19
28F：→ wohtp: 所以你看高能的起手式lagrangian action 12/11 15:21
29F：→ wohtp: *都是 12/11 15:22
30F：推 mizys: 也是拉 我教授说高能的一般都用lagrangian 统力用Hamiltoni 12/11 15:23
可以请教一下什麽是高能吗？XD
google找不太到
31F：→ YOwOYa: 刚导了老半天还是导不出来Orz 12/11 15:49
32F：→ YOwOYa: 在平面极座标下，wxr只有theta方向的速度，而没有r方向的 12/11 15:49
33F：→ YOwOYa: 速度。 12/11 15:49
34F：→ YOwOYa: 那麽在三维空间中，若存在一w，要怎麽证明wxr不含径向速度 12/11 15:49
35F：→ YOwOYa: ？ 12/11 15:49
36F：→ Vulpix: 跟r垂直啊。 12/11 16:05
阿…抱歉，没表达很清楚，我的意思是wxr包含了整个垂直径向的速度，及可以写成
http://i.imgur.com/lw40Ohg.jpg
※ 编辑: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 16:24:38
37F：→ YOwOYa: 其实好像就只是垂直与r没错而已ww 12/11 16:33
38F：→ YOwOYa: 想一整天有点乱了，我休息一下好了Orz 12/11 16:33
39F：→ YOwOYa: 看来是因为平常在算是比较懒，习惯用平面极座标，所以会想 12/11 18:38
40F：→ YOwOYa: 要把速度分成径向速度和w×r， 12/11 18:38
41F：→ YOwOYa: 刚刚发现光是柱座标就无法达到这点了。 12/11 18:38
42F：→ YOwOYa: 不过这下总算弄懂角速度的定义了，谢谢楼上诸位大大！！ 12/11 18:38
※ 编辑: YOwOYa (114.35.77.233), 12/11/2016 21:36:59