作者Philethan (PE)
看板Physics
標題[問題] 我證明有簡併能階的方法哪裡錯了QQ
時間Wed Oct 12 21:34:05 2016
【出處】(習題或問題的出處)
Sakurai Quantum Mechanics 第一章第17題
【題目】(題目的文字敘述，如有圖片亦可提供圖片)
Two observables A1 and A2, which do not involve time explicitly,
are known not to commute,
[A1,A2] \neq 0
yet we also know that A1 and A2 both commute with the Hamiltonian:
[A1,H] = 0, [A2,H] = 0.
Prove that the energy eigenstates are, in general, degenerate. Are
there exceptions? As an example, you may think of the central-force
problem H=p2/2m+V(r), with A1 →Lz,A2 →Lx.
也請看一下附件，內有完整題目與我的詳細作法
https://www.dropbox.com/s/m6ab8zoo0ay6f9d/ask.pdf?dl=0
【瓶頸】(解題瓶頸或思考脈絡，請盡量詳述以利回答者知道要從何處講解指導)
---稍微說明一下我的作法---
我先假設一個Hamiltonian的特徵值方程式，接著藉由[A1,H]=[A2,H]=0，
來推得另一個特徵值方程式，如此一來，應該就能接著討論它們具有
相同特徵值，但特徵態卻不同的情況，也就是能階具有簡併態的情況。
不過，就在我討論到(5)時..我認為，如果|Φ〉與|ψ〉是不一樣的特徵態，
那麼它們就不能具有倍數關係，也就是(5)的結論。因此，我最後得出，
「
如果|ψ〉不是A的特徵態，但又恰好是Hamiltonian的特徵態，那麼
A|ψ〉就會是|ψ〉的簡併態，其中A可代換為A1或A2。」
這規則是正確的嗎？囧...
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今天跟同學討論後，發現我的(4)似乎不能推得(5)。我後來仔細想想，
我覺得我是為了讓(4)成立，並且能階具有簡併，所以才不得不得出(5)
的結論。這也是為什麼後面我整理出一個規則的原因。
簡單來說，我還是不明白為什麼我到目前為止的推理是錯的 QQ
不好意思一直麻煩我同學，所以上來發問了，還請各位大大幫忙一下，謝謝Orz
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.250.76
※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Physics/M.1476279251.A.7D2.html
1F：→ caseypie: 為什麼4不能推到5? 10/12 22:16
大哥你好，小弟我也不太清楚。原本想法是說，因為我討論的「A」是任何與
Hamiltonian 相容的(compatible)運算子，所以，不是所有的「A」都會滿足
(5)。也就是說，也許|ψ〉不是A1的特徵態，也就滿足(5)，但也許|ψ〉
是
A2的特徵態，這樣就
不滿足(5)了。
然而，我後來仔細想想。我承認上述情況是可能的，然而我的目的是要找出
使得|ψ〉具有簡併態的條件，所以我為了排除沒有簡併態的情況，我得出了
|ψ〉必須不是A的特徵態的結論。
不知道這樣推理站得住腳嗎？真的很感謝大大回覆Orz...
※ 編輯: Philethan (140.112.250.76), 10/12/2016 22:23:23
2F：推 Vulpix: 我覺得是因為沒有把|ψ〉與A扯上關係才遇到這個問題的。 10/13 00:58
3F：→ Vulpix: |ψ〉一開始就假設成A_1和H的共同eigenket(commute op.可 10/13 01:00
4F：→ Vulpix: 以有共同的basis)。然後用[A_1,A_2]作用在|ψ〉上，去討論 10/13 01:04
5F：→ Vulpix: A1|ψ〉是否是A2的eigenket，如果是、而且所有的|ψ〉都是 10/13 01:05
6F：→ Vulpix: A2的eigenket，那會導致A1、A2 commute，所以某個|ψ〉和 10/13 01:07
7F：→ Vulpix: A2|ψ〉就線性獨立，但他們有相同的能量。所以能量簡併。 10/13 01:10
8F：→ Vulpix: 01:05那一行開頭的A1是多餘的。 10/13 01:10
9F：→ Vulpix: 而有時候"能量沒簡併"是可以允許的，因為只要A1,A2在H的 10/13 01:12
10F：→ Vulpix: 某個eigenspace上面交換，那個eigenspace就有可能是一維。 10/13 01:13
11F：→ caseypie: Vulpix說的很清楚了，|ψ〉不可能同時是A1和A2的特徵態 10/13 04:35
12F：→ caseypie: 不然A1和A2就commute了 10/13 04:35
13F：→ caseypie: 所以你的(4)其實得到|ψ〉, A1|ψ〉, A2|ψ〉三個波函數 10/13 04:36
14F：→ caseypie: 其中至少有兩個不平行（只差一個常數） 10/13 04:37
非常感謝樓上兩位大大的幫忙！小弟這幾天作業比較多，還在趕明天的實驗結報，
所以明後天再好好回兩位大大，真的很感謝Orz...
※ 編輯: Philethan (140.112.25.105), 10/13/2016 20:41:55