作者Philethan (PE)
看板Physics
标题[问题] 我证明有简并能阶的方法哪里错了QQ
时间Wed Oct 12 21:34:05 2016
【出处】(习题或问题的出处)
Sakurai Quantum Mechanics 第一章第17题
【题目】(题目的文字叙述，如有图片亦可提供图片)
Two observables A1 and A2, which do not involve time explicitly,
are known not to commute,
[A1,A2] \neq 0
yet we also know that A1 and A2 both commute with the Hamiltonian:
[A1,H] = 0, [A2,H] = 0.
Prove that the energy eigenstates are, in general, degenerate. Are
there exceptions? As an example, you may think of the central-force
problem H=p2/2m+V(r), with A1 →Lz,A2 →Lx.
也请看一下附件，内有完整题目与我的详细作法
https://www.dropbox.com/s/m6ab8zoo0ay6f9d/ask.pdf?dl=0
【瓶颈】(解题瓶颈或思考脉络，请尽量详述以利回答者知道要从何处讲解指导)
---稍微说明一下我的作法---
我先假设一个Hamiltonian的特徵值方程式，接着藉由[A1,H]=[A2,H]=0，
来推得另一个特徵值方程式，如此一来，应该就能接着讨论它们具有
相同特徵值，但特徵态却不同的情况，也就是能阶具有简并态的情况。
不过，就在我讨论到(5)时..我认为，如果|Φ〉与|ψ〉是不一样的特徵态，
那麽它们就不能具有倍数关系，也就是(5)的结论。因此，我最後得出，
「
如果|ψ〉不是A的特徵态，但又恰好是Hamiltonian的特徵态，那麽
A|ψ〉就会是|ψ〉的简并态，其中A可代换为A1或A2。」
这规则是正确的吗？囧...
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今天跟同学讨论後，发现我的(4)似乎不能推得(5)。我後来仔细想想，
我觉得我是为了让(4)成立，并且能阶具有简并，所以才不得不得出(5)
的结论。这也是为什麽後面我整理出一个规则的原因。
简单来说，我还是不明白为什麽我到目前为止的推理是错的 QQ
不好意思一直麻烦我同学，所以上来发问了，还请各位大大帮忙一下，谢谢Orz
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 140.112.250.76
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Physics/M.1476279251.A.7D2.html
1F：→ caseypie: 为什麽4不能推到5? 10/12 22:16
大哥你好，小弟我也不太清楚。原本想法是说，因为我讨论的「A」是任何与
Hamiltonian 相容的(compatible)运算子，所以，不是所有的「A」都会满足
(5)。也就是说，也许|ψ〉不是A1的特徵态，也就满足(5)，但也许|ψ〉
是
A2的特徵态，这样就
不满足(5)了。
然而，我後来仔细想想。我承认上述情况是可能的，然而我的目的是要找出
使得|ψ〉具有简并态的条件，所以我为了排除没有简并态的情况，我得出了
|ψ〉必须不是A的特徵态的结论。
不知道这样推理站得住脚吗？真的很感谢大大回覆Orz...
※ 编辑: Philethan (140.112.250.76), 10/12/2016 22:23:23
2F：推 Vulpix: 我觉得是因为没有把|ψ〉与A扯上关系才遇到这个问题的。 10/13 00:58
3F：→ Vulpix: |ψ〉一开始就假设成A_1和H的共同eigenket(commute op.可 10/13 01:00
4F：→ Vulpix: 以有共同的basis)。然後用[A_1,A_2]作用在|ψ〉上，去讨论 10/13 01:04
5F：→ Vulpix: A1|ψ〉是否是A2的eigenket，如果是、而且所有的|ψ〉都是 10/13 01:05
6F：→ Vulpix: A2的eigenket，那会导致A1、A2 commute，所以某个|ψ〉和 10/13 01:07
7F：→ Vulpix: A2|ψ〉就线性独立，但他们有相同的能量。所以能量简并。 10/13 01:10
8F：→ Vulpix: 01:05那一行开头的A1是多余的。 10/13 01:10
9F：→ Vulpix: 而有时候"能量没简并"是可以允许的，因为只要A1,A2在H的 10/13 01:12
10F：→ Vulpix: 某个eigenspace上面交换，那个eigenspace就有可能是一维。 10/13 01:13
11F：→ caseypie: Vulpix说的很清楚了，|ψ〉不可能同时是A1和A2的特徵态 10/13 04:35
12F：→ caseypie: 不然A1和A2就commute了 10/13 04:35
13F：→ caseypie: 所以你的(4)其实得到|ψ〉, A1|ψ〉, A2|ψ〉三个波函数 10/13 04:36
14F：→ caseypie: 其中至少有两个不平行（只差一个常数） 10/13 04:37
非常感谢楼上两位大大的帮忙！小弟这几天作业比较多，还在赶明天的实验结报，
所以明後天再好好回两位大大，真的很感谢Orz...
※ 编辑: Philethan (140.112.25.105), 10/13/2016 20:41:55