※ 引述《hsz0566 (HSZ)》之銘言： : 在友人臉書看到的大一普物問題： : 物體 A、B 靜止於直線，各距離原點 R、-R ，質量均為 m ，因萬有引力而相吸，求物體 : A 經過時間 t 的 v(t) 之方程式。 這問題好像超過大一課程了 因為都要解DE 大一大概只能有能力解一階DE 假設系統如下 r=R r=0 ●-->F ----原點 因為 a=dv/dt 且v=dr/dt 故dt=dv/a=dr/v ==> adr=vdv 這是大二運動學的東西 由於F=Gm^2/r^2=ma 可得a(r)=Gm/r^2 r v 故∫adr = ∫ vdv v=√{2gm( 1/R - 1/r)} r=R v=0(靜止) 又因為v=dr/dt dt=dr/v (PS. 因為要求得r-t關係 故要用此關係式找出r(t) 這裡是關鍵) r t r √R r r r ∫ 1/v dr = ∫dt = ∫ ------√(----) dr = t =√(R/2Gm)∫√(---) dr r=R t=0 R √(2Gm) r-R R r-R 後項積分很不好積分 通常要查表或給電腦算 如果要硬算 令u=√(r-R) du=dr/(2√(r-R)) u^2+R=r 則積分式變為 u (查表) u ∫2√(u^2+R)du = u√(u^2+R) + R*ln{u+√(u^2+R)}| 0 0 = u√(u^2+R) + R*ln{u+√(u^2+R)} - {Rln√R} 故此時可整理出 t*√(2Gm/R) = √(r^2-rR) + Rln{√(r-R)+√r - Rln√R 上面已知r-t關係式 最後所求v=dr/dt 整理一下 很醜就是了 (另解) 由F=ma=Gm^2/r^2=r'' 可得高階非線性非齊性ODE r^2*r''=Gm I.C. r(0)=R r'(0)=0 這種非線性ODE通常都很難解 一般就是用特殊方式求近似解/數值解等等 這東西丟入電腦跑一下 ((Gm Log[-2 Gm + 2 C[1] r[t] + 2 Sqrt[C[1]] Sqrt[C[1] - (2 Gm)/r[t]] r[t]])/C[1]^(3/2) + ( Sqrt[C[1] - (2 Gm)/r[t]] r[t])/C[1])^2 == (t + C[2])^2 由I.C.可解C[1],C[2]兩常數 再由r(t)解出r'(t) *(法三) 上面的東西 關鍵步驟直接泰勒展開來作 我脫離這東西有點久了 僅供參考有錯請指正 : 我的想法是： : 速度可以從加速度對時間積分求得 : v(t) = ∫a(t)dt......(1) : 而根據牛頓第二運動定律 : a(t) = F(t) / m......(2) : 假設A的位置函數是x(t), : AB間距就是 2*x(t) : 還有位移速度加速度之間的關係是 : v(t) = x'(t) : a(t) = v'(t) = x"(t) : 根據萬有引力定律 : F(t) = - (G*m*m) / [(2*x(t))^2]......(3) : 把(3)代入(2)再代入(1) : v(t) = -0.25*G*m* ∫[1/(x(t))^2]dt : 然後有兩個初始條件@t = 0 : x(0) = R : v(0) = 0 : 這樣列式不曉得正不正確 @@ : 另外，也可以從能量觀點： : 假設A在時間t的位置是 x(t) : 時間t0的重力位能 - 時間t的重力位能 = 時間t的A動能 + 時間t的B動能 : -G*m*m/2R - [-G*m*m/(2*x(t))] = m*[v(t)]^2 : v(t) = sqrt{0.5*G*m*[(1/x(t)) - (1/R)]} : 不是積分(第一種算法)就是根號，看起來都很麻煩...orz : 學長說： : 亦可以用 dimension analysis : 假設此質量有一特徵長度 X 及特徵時間 T : 重力表現應是反比於 X^2 : 而加速度應是 X/T^2 : 兩者應是同樣的dimension，所以1/X^2 ~ X/T^2 : 所以X ~ T^(2/3) ，因此可假設 x(t) =C1 t^(2/3) + C2 : 代入初始條件解出 C1 & C2 : 但假設x(t) = c1*t^(2/3) + c2的話 : x(0) = R 得 c2 = R : 不過 x'(0) = 0 就算不出c1了 : 然後估狗到台大普物李文忠出過類似的考題... : 但只有題目 = = : https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/NTU-Exam/M.1294993644.A.500.html --

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