※ 引述《hsz0566 (HSZ)》之铭言： : 在友人脸书看到的大一普物问题： : 物体 A、B 静止於直线，各距离原点 R、-R ，质量均为 m ，因万有引力而相吸，求物体 : A 经过时间 t 的 v(t) 之方程式。 这问题好像超过大一课程了 因为都要解DE 大一大概只能有能力解一阶DE 假设系统如下 r=R r=0 ●-->F ----原点 因为 a=dv/dt 且v=dr/dt 故dt=dv/a=dr/v ==> adr=vdv 这是大二运动学的东西 由於F=Gm^2/r^2=ma 可得a(r)=Gm/r^2 r v 故∫adr = ∫ vdv v=√{2gm( 1/R - 1/r)} r=R v=0(静止) 又因为v=dr/dt dt=dr/v (PS. 因为要求得r-t关系 故要用此关系式找出r(t) 这里是关键) r t r √R r r r ∫ 1/v dr = ∫dt = ∫ ------√(----) dr = t =√(R/2Gm)∫√(---) dr r=R t=0 R √(2Gm) r-R R r-R 後项积分很不好积分 通常要查表或给电脑算 如果要硬算 令u=√(r-R) du=dr/(2√(r-R)) u^2+R=r 则积分式变为 u (查表) u ∫2√(u^2+R)du = u√(u^2+R) + R*ln{u+√(u^2+R)}| 0 0 = u√(u^2+R) + R*ln{u+√(u^2+R)} - {Rln√R} 故此时可整理出 t*√(2Gm/R) = √(r^2-rR) + Rln{√(r-R)+√r - Rln√R 上面已知r-t关系式 最後所求v=dr/dt 整理一下 很丑就是了 (另解) 由F=ma=Gm^2/r^2=r'' 可得高阶非线性非齐性ODE r^2*r''=Gm I.C. r(0)=R r'(0)=0 这种非线性ODE通常都很难解 一般就是用特殊方式求近似解/数值解等等 这东西丢入电脑跑一下 ((Gm Log[-2 Gm + 2 C[1] r[t] + 2 Sqrt[C[1]] Sqrt[C[1] - (2 Gm)/r[t]] r[t]])/C[1]^(3/2) + ( Sqrt[C[1] - (2 Gm)/r[t]] r[t])/C[1])^2 == (t + C[2])^2 由I.C.可解C[1],C[2]两常数 再由r(t)解出r'(t) *(法三) 上面的东西 关键步骤直接泰勒展开来作 我脱离这东西有点久了 仅供参考有错请指正 : 我的想法是： : 速度可以从加速度对时间积分求得 : v(t) = ∫a(t)dt......(1) : 而根据牛顿第二运动定律 : a(t) = F(t) / m......(2) : 假设A的位置函数是x(t), : AB间距就是 2*x(t) : 还有位移速度加速度之间的关系是 : v(t) = x'(t) : a(t) = v'(t) = x"(t) : 根据万有引力定律 : F(t) = - (G*m*m) / [(2*x(t))^2]......(3) : 把(3)代入(2)再代入(1) : v(t) = -0.25*G*m* ∫[1/(x(t))^2]dt : 然後有两个初始条件@t = 0 : x(0) = R : v(0) = 0 : 这样列式不晓得正不正确 @@ : 另外，也可以从能量观点： : 假设A在时间t的位置是 x(t) : 时间t0的重力位能 - 时间t的重力位能 = 时间t的A动能 + 时间t的B动能 : -G*m*m/2R - [-G*m*m/(2*x(t))] = m*[v(t)]^2 : v(t) = sqrt{0.5*G*m*[(1/x(t)) - (1/R)]} : 不是积分(第一种算法)就是根号，看起来都很麻烦...orz : 学长说： : 亦可以用 dimension analysis : 假设此质量有一特徵长度 X 及特徵时间 T : 重力表现应是反比於 X^2 : 而加速度应是 X/T^2 : 两者应是同样的dimension，所以1/X^2 ~ X/T^2 : 所以X ~ T^(2/3) ，因此可假设 x(t) =C1 t^(2/3) + C2 : 代入初始条件解出 C1 & C2 : 但假设x(t) = c1*t^(2/3) + c2的话 : x(0) = R 得 c2 = R : 不过 x'(0) = 0 就算不出c1了 : 然後估狗到台大普物李文忠出过类似的考题... : 但只有题目 = = : https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/NTU-Exam/M.1294993644.A.500.html --

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