作者ocf001497 (榮)
看板Physics
標題[問題] 統計力學Density matrix
時間Fri Apr 22 15:36:14 2016
各位大大好
小弟最近修統物到量子統計開頭
(Pathria ch5)
對於一些formulation還不是很懂
1.
http://i.imgur.com/DqiSWAc.jpg
關於這邊的第11式(Pathria第三版 117頁)
先假設系統是平衡所以ensemble是stationary
如果用H的eigenfunction 當作基底
則H可以展成對角矩陣
這我可以理解 但為何這也代表density matrix也是對角矩陣呢？
Density matrix 的定義中 並沒有用到basis的性質 因為他的定義只是
http://i.imgur.com/x73Kq8k.jpg
只跟basis前面的probability amplitude有關
不懂為何會變成對角
我試著用一個two level system來建
(這個例子是錯的...orz
http://i.imgur.com/050phjq.jpg
符合ensemble都是stationary
但density matrix 沒有對角化
想請問我是有哪裡了解錯了嗎@@？
2.課本118頁第19式
http://i.imgur.com/ajtbLZt.jpg
如果原始的ensemble wave function 沒有normalize 那G operator的期望值是19式
我覺得這邊怪怪的
如果原始ensemble wave function 尚未normalize
那麼G operator 的期望值應該是個別算ensemble的G期望值再相除才對吧
也就是說我認為應該這樣寫
http://i.imgur.com/MaLkRqf.jpg
課本的寫法有點像加權平均
但這樣我只要讓第k個ensemble沒有normalize
並且做平方積分後的值超大 這樣照課本的寫法他就會dominate這個G的期望值
但這樣應該不對吧(還是我觀念錯orz )
我以為要取ensemble average就是要個別把期望值算出來再平均
在這裡卡好久
以上兩個問題希望各位高手幫忙！！～～
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.25.108
※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Physics/M.1461310576.A.972.html
※ 編輯: ocf001497 (140.112.25.108), 04/22/2016 15:43:03
1F：推 ren1072: 1：兩個互相commute的operator可以同時對角化 04/22 17:29
2F：→ ren1072: 而你的例子不符合stationary04/22 17:30
對...我剛剛發現了
所以就是每個ensemble 一定只處在特定的eigenstate的意思嗎？
因此對特定的ensemble挑到不一樣的probability amplitude相乘必得0囉？
※ 編輯: ocf001497 (101.12.115.121), 04/22/2016 17:51:02
※ 編輯: ocf001497 (101.12.115.121), 04/22/2016 17:53:14
※ 編輯: ocf001497 (101.12.115.121), 04/22/2016 17:55:03
3F：推 ren1072: 不一定要靜態啊，應該比較類似動態平衡吧！04/22 18:12
課本上面的
The corresponding ensemble must be stationary不是在說ensemble裡面每一個system
都在stationary state嗎？
例如說 假設現在basis是H的eigenstate
根據ensemble 必須stationary的條件
ensemble的每個成員可能會長成下面這樣嗎？
ensemble 1 = [1 0 0 0 ...]
ensemble 2 = [0 1 0 0 ...]
ensemble 3 = [1 0 0 0 ...]
ensemble 4 = [0 0 1 0 ...]
我想試著用數學翻譯課本那句話
不知道這樣對不對
※ 編輯: ocf001497 (49.215.1.56), 04/22/2016 18:19:41
※ 編輯: ocf001497 (49.215.1.56), 04/22/2016 18:29:06
4F：→ wohtp: 回應你對平均的問題：density matrix就是個加權平均 04/22 22:30
5F：→ wohtp: 然後quantum state照定義都一定已經normalized了，所以你害04/22 22:31
6F：→ wohtp: 怕的事不會發生04/22 22:31
感謝回覆
所以基本上G的期望值就是rho G 的trace嗎
因為他那個公式(沒normalize的ensemble)
是想要表達什麼概念嗎
※ 編輯: ocf001497 (49.215.1.56), 04/22/2016 22:48:47
7F：→ wohtp: 他還真的這麼寫（傻眼04/22 23:32
8F：→ wohtp: 我想不到任何使用unnormalized state的理由，有人知道的話 04/22 23:33
9F：→ wohtp: 請教育我一下嘿04/22 23:33
10F：→ wohtp: 但是我可以想到normalization不一樣的情況，例如有些人的04/22 23:34
11F：→ wohtp: planewave state會normalize到系統體積去04/22 23:34
12F：→ wohtp: 所以有n顆粒子的state，norm就是V^n04/22 23:35
13F：→ wohtp: 這時候比較「大」的state是真的比較大，然後你寫operator04/22 23:37
14F：→ wohtp: 也要跟著做相應的調整04/22 23:37
15F：→ wohtp: 所以，不是normalization可以隨便，而是你有道理說得通的話04/22 23:40
16F：→ wohtp: density matrix可以容許你區分量子態的「大小」04/22 23:40
恩恩 他如果不寫那個公式的話我可以理解ensemble average 就是 Tr(rho G)
但那個公式 如果不是在您說的「量子態」分大小的情況
那是否會怪怪的呢？
照他的寫法如果倒著寫回去就不是ensemble average了
※ 編輯: ocf001497 (49.215.1.56), 04/23/2016 01:05:16
17F：推 sukeda: 沒normalized還好吧 反正記得最後處理掉就好 04/23 08:18
感謝回覆
可是他處理掉的方法(下面直接除Tr(rho)
是不是怪怪的呢？
感覺應該要對每個unnormalized 的ensemble member 個別處理：算第k個ensemble membe
r的G期望值 再除掉第k個ensemble member自己的波函數的平方積分
最後再加總除以ensemble數量
(就是我po的照片那樣
※ 編輯: ocf001497 (49.215.1.56), 04/23/2016 08:28:40
18F：推 sukeda: 如果有normalized tr(rho)=1, 也就是說沒normalized時 04/23 09:48
19F：→ sukeda: 必須除掉tr(rho)這樣還是能維持tr(rho)=1 04/23 09:49
20F：→ sukeda: tr(rho)= 1/N sum_{k=1}^{N} <psi^{k}|psi^{k}> 04/23 09:50
21F：→ sukeda: rho= 1/N sum_{k=1}^{N} |psi^{k}><psi^{k}| 04/23 09:51
22F：→ sukeda: 所以很明顯tr(rho)=/=1 所以要滿足=1除掉tr(rho)就好了 04/23 09:53
23F：推 sukeda: rho/tr(rho) is a normalized density operator which 04/23 09:59
24F：→ sukeda: imdicates that <G>=tr(rho G)/tr(rho) 04/23 10:00
25F：→ sukeda: indicates 04/23 10:00
26F：→ wohtp: 樓上，就拿 \sum |psi> P(psi) <psi| 這樣的例子來看 04/23 10:55
27F：→ wohtp: rescale 某個 |psi> --> a |psi> 相當於04/23 10:56
28F：→ wohtp: P(psi) --> |a|^2 P(psi)04/23 10:57
29F：→ wohtp: 重新normalize以後會變成另一個不一樣的density matrix04/23 10:58
我跟wohtp想法一樣
不知道這之中有什麼癥結點
※ 編輯: ocf001497 (49.215.1.56), 04/23/2016 12:59:26
31F：→ wohtp: 所以你反而證明了我們的點啊， <psi|psi> 的值是 P(psi)04/24 10:52
32F：→ wohtp: 的一部分 04/24 10:52
33F：→ wohtp: 如果 |psi> 的 normalization 是 |phi> 的 K 倍，這個 K 也04/24 10:55
34F：→ wohtp: 會反映在兩個states的機率比上面04/24 10:56
35F：推 sukeda: 我知道 。課本寫的也沒什麼問題04/24 11:32
36F：推 sputtering: 其實妳的式子和課本是一樣的 課本其實只是用了一個取04/24 16:48
37F：→ sputtering: 巧的方式 直接令這個<G> Op.是unit Op. 04/24 16:52
唔..
可是我的式子不是先個別算再平均嗎
課本是直接分母分子自己連加
我看不出來一樣QQQ
※ 編輯: ocf001497 (49.215.1.56), 04/24/2016 18:53:52
38F：→ wohtp: sputtering：兩個式子真的不一樣。你要我為這件事賭身家性 04/24 20:41
39F：→ wohtp: 命我也樂意，因為穩贏不輸的不賭是棒鎚 XD 04/24 20:41
40F：推 sputtering: 重點是積分波函數結果都是1妳帶進去看看有沒有不一樣 04/24 20:43
41F：→ sputtering: 我是棒槌 04/24 21:15
明天我去問問看統物教授好了orz
希望能問出些東西再來分享
※ 編輯: ocf001497 (49.215.1.56), 04/24/2016 23:55:46