作者ocf001497 (荣)
看板Physics
标题[问题] 统计力学Density matrix
时间Fri Apr 22 15:36:14 2016
各位大大好
小弟最近修统物到量子统计开头
(Pathria ch5)
对於一些formulation还不是很懂
1.
http://i.imgur.com/DqiSWAc.jpg
关於这边的第11式(Pathria第三版 117页)
先假设系统是平衡所以ensemble是stationary
如果用H的eigenfunction 当作基底
则H可以展成对角矩阵
这我可以理解 但为何这也代表density matrix也是对角矩阵呢？
Density matrix 的定义中 并没有用到basis的性质 因为他的定义只是
http://i.imgur.com/x73Kq8k.jpg
只跟basis前面的probability amplitude有关
不懂为何会变成对角
我试着用一个two level system来建
(这个例子是错的...orz
http://i.imgur.com/050phjq.jpg
符合ensemble都是stationary
但density matrix 没有对角化
想请问我是有哪里了解错了吗@@？
2.课本118页第19式
http://i.imgur.com/ajtbLZt.jpg
如果原始的ensemble wave function 没有normalize 那G operator的期望值是19式
我觉得这边怪怪的
如果原始ensemble wave function 尚未normalize
那麽G operator 的期望值应该是个别算ensemble的G期望值再相除才对吧
也就是说我认为应该这样写
http://i.imgur.com/MaLkRqf.jpg
课本的写法有点像加权平均
但这样我只要让第k个ensemble没有normalize
并且做平方积分後的值超大 这样照课本的写法他就会dominate这个G的期望值
但这样应该不对吧(还是我观念错orz )
我以为要取ensemble average就是要个别把期望值算出来再平均
在这里卡好久
以上两个问题希望各位高手帮忙！！～～
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 140.112.25.108
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Physics/M.1461310576.A.972.html
※ 编辑: ocf001497 (140.112.25.108), 04/22/2016 15:43:03
1F：推 ren1072: 1：两个互相commute的operator可以同时对角化 04/22 17:29
2F：→ ren1072: 而你的例子不符合stationary04/22 17:30
对...我刚刚发现了
所以就是每个ensemble 一定只处在特定的eigenstate的意思吗？
因此对特定的ensemble挑到不一样的probability amplitude相乘必得0罗？
※ 编辑: ocf001497 (101.12.115.121), 04/22/2016 17:51:02
※ 编辑: ocf001497 (101.12.115.121), 04/22/2016 17:53:14
※ 编辑: ocf001497 (101.12.115.121), 04/22/2016 17:55:03
3F：推 ren1072: 不一定要静态啊，应该比较类似动态平衡吧！04/22 18:12
课本上面的
The corresponding ensemble must be stationary不是在说ensemble里面每一个system
都在stationary state吗？
例如说 假设现在basis是H的eigenstate
根据ensemble 必须stationary的条件
ensemble的每个成员可能会长成下面这样吗？
ensemble 1 = [1 0 0 0 ...]
ensemble 2 = [0 1 0 0 ...]
ensemble 3 = [1 0 0 0 ...]
ensemble 4 = [0 0 1 0 ...]
我想试着用数学翻译课本那句话
不知道这样对不对
※ 编辑: ocf001497 (49.215.1.56), 04/22/2016 18:19:41
※ 编辑: ocf001497 (49.215.1.56), 04/22/2016 18:29:06
4F：→ wohtp: 回应你对平均的问题：density matrix就是个加权平均 04/22 22:30
5F：→ wohtp: 然後quantum state照定义都一定已经normalized了，所以你害04/22 22:31
6F：→ wohtp: 怕的事不会发生04/22 22:31
感谢回覆
所以基本上G的期望值就是rho G 的trace吗
因为他那个公式(没normalize的ensemble)
是想要表达什麽概念吗
※ 编辑: ocf001497 (49.215.1.56), 04/22/2016 22:48:47
7F：→ wohtp: 他还真的这麽写（傻眼04/22 23:32
8F：→ wohtp: 我想不到任何使用unnormalized state的理由，有人知道的话 04/22 23:33
9F：→ wohtp: 请教育我一下嘿04/22 23:33
10F：→ wohtp: 但是我可以想到normalization不一样的情况，例如有些人的04/22 23:34
11F：→ wohtp: planewave state会normalize到系统体积去04/22 23:34
12F：→ wohtp: 所以有n颗粒子的state，norm就是V^n04/22 23:35
13F：→ wohtp: 这时候比较「大」的state是真的比较大，然後你写operator04/22 23:37
14F：→ wohtp: 也要跟着做相应的调整04/22 23:37
15F：→ wohtp: 所以，不是normalization可以随便，而是你有道理说得通的话04/22 23:40
16F：→ wohtp: density matrix可以容许你区分量子态的「大小」04/22 23:40
恩恩 他如果不写那个公式的话我可以理解ensemble average 就是 Tr(rho G)
但那个公式 如果不是在您说的「量子态」分大小的情况
那是否会怪怪的呢？
照他的写法如果倒着写回去就不是ensemble average了
※ 编辑: ocf001497 (49.215.1.56), 04/23/2016 01:05:16
17F：推 sukeda: 没normalized还好吧 反正记得最後处理掉就好 04/23 08:18
感谢回覆
可是他处理掉的方法(下面直接除Tr(rho)
是不是怪怪的呢？
感觉应该要对每个unnormalized 的ensemble member 个别处理：算第k个ensemble membe
r的G期望值 再除掉第k个ensemble member自己的波函数的平方积分
最後再加总除以ensemble数量
(就是我po的照片那样
※ 编辑: ocf001497 (49.215.1.56), 04/23/2016 08:28:40
18F：推 sukeda: 如果有normalized tr(rho)=1, 也就是说没normalized时 04/23 09:48
19F：→ sukeda: 必须除掉tr(rho)这样还是能维持tr(rho)=1 04/23 09:49
20F：→ sukeda: tr(rho)= 1/N sum_{k=1}^{N} <psi^{k}|psi^{k}> 04/23 09:50
21F：→ sukeda: rho= 1/N sum_{k=1}^{N} |psi^{k}><psi^{k}| 04/23 09:51
22F：→ sukeda: 所以很明显tr(rho)=/=1 所以要满足=1除掉tr(rho)就好了 04/23 09:53
23F：推 sukeda: rho/tr(rho) is a normalized density operator which 04/23 09:59
24F：→ sukeda: imdicates that <G>=tr(rho G)/tr(rho) 04/23 10:00
25F：→ sukeda: indicates 04/23 10:00
26F：→ wohtp: 楼上，就拿 \sum |psi> P(psi) <psi| 这样的例子来看 04/23 10:55
27F：→ wohtp: rescale 某个 |psi> --> a |psi> 相当於04/23 10:56
28F：→ wohtp: P(psi) --> |a|^2 P(psi)04/23 10:57
29F：→ wohtp: 重新normalize以後会变成另一个不一样的density matrix04/23 10:58
我跟wohtp想法一样
不知道这之中有什麽症结点
※ 编辑: ocf001497 (49.215.1.56), 04/23/2016 12:59:26
31F：→ wohtp: 所以你反而证明了我们的点啊， <psi|psi> 的值是 P(psi)04/24 10:52
32F：→ wohtp: 的一部分 04/24 10:52
33F：→ wohtp: 如果 |psi> 的 normalization 是 |phi> 的 K 倍，这个 K 也04/24 10:55
34F：→ wohtp: 会反映在两个states的机率比上面04/24 10:56
35F：推 sukeda: 我知道 。课本写的也没什麽问题04/24 11:32
36F：推 sputtering: 其实你的式子和课本是一样的 课本其实只是用了一个取04/24 16:48
37F：→ sputtering: 巧的方式 直接令这个<G> Op.是unit Op. 04/24 16:52
唔..
可是我的式子不是先个别算再平均吗
课本是直接分母分子自己连加
我看不出来一样QQQ
※ 编辑: ocf001497 (49.215.1.56), 04/24/2016 18:53:52
38F：→ wohtp: sputtering：两个式子真的不一样。你要我为这件事赌身家性 04/24 20:41
39F：→ wohtp: 命我也乐意，因为稳赢不输的不赌是棒鎚 XD 04/24 20:41
40F：推 sputtering: 重点是积分波函数结果都是1你带进去看看有没有不一样 04/24 20:43
41F：→ sputtering: 我是棒槌 04/24 21:15
明天我去问问看统物教授好了orz
希望能问出些东西再来分享
※ 编辑: ocf001497 (49.215.1.56), 04/24/2016 23:55:46