作者dd259 (Dr.Mouth)
看板Physics
標題[問題] 關於Hilbert space的一些問題
時間Sun Dec 13 13:53:35 2015
小弟我最近在學校修物理數學(三)
裡面在介紹一些量物要用到的數學基礎
但是以下兩個名詞我已經查了無數資料但是就是看不懂啊~
第一個是Hilbert space,我只覺得好像只要是完備的內積空間就是Hilbert space
，但是到底要怎麼判斷一個set有沒有在Hilbert space裡面啊? 還有有沒有什麼更簡易好懂的方法來理解什麼是Hilbert space....
第二個就是到底要怎麼判斷是否具有完備性，我查到的資料有提到什麼柯西序列的，但是那實在是很難理解的一個東西，有看沒有懂...
跪求板上物理知識雄厚的人們幫我解惑了
能解釋的越簡單理解越好QQ
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1F：推 tiger790815: 也可以問數學版看看 12/13 14:01
2F：→ wohtp: 推文回應都回溯掉了 ╮(╯_╰)╭ 12/14 00:31
3F：→ wohtp: 那就再說一次：量力會碰到的Hilbert space，你都當作維度可 12/14 00:33
4F：→ wohtp: 數、有內積的向量空間去想就好了。 12/14 00:33
5F：→ wohtp: Hilbert space的定義是把沒有可數基底的空間也包涵進去。 12/14 00:42
6F：→ wohtp: 但是...反正當這些不可數／無限小／無限大造成問題的時候， 12/14 00:43
7F：→ wohtp: 搞物理的第一個直覺就是逃回格點或甜甜圈上面去，把問題變 12/14 00:43
8F：→ wohtp: 成有可數基底 XD 12/14 00:44
9F：→ wohtp: 所以拿向量空間來當成直覺圖像不會有什麼大問題。 12/14 00:46
10F：→ wohtp: 要是想知道真正的數學意義，你還是先從高微啃起吧 12/14 00:49
11F：→ kuromu: inner product space ⊂ normed space ⊂ metric space 12/14 02:04
12F：→ kuromu: ↓ ↓ ↓ (完備化) 12/14 02:05
13F：→ kuromu: Hilbert space ⊂ Banach space ⊂ complete metric 12/14 02:08
14F：→ kuromu: space 12/14 02:09
15F：→ kuromu: 不知道有沒有錯 12/14 02:09
16F：→ speedshuffle: 舉個例子 給定三維向量(1,2,3)跟(4,5,6) 你能找到 12/14 15:35
17F：→ speedshuffle: 不為零的C1 C2 使C1(1,2,3)+C2(4,5,6)=(7,8,9)嗎? 12/14 15:37
18F：→ speedshuffle: 如果不行的話表示這兩個向量不是完備的內積空間 12/14 15:38
19F：→ speedshuffle: 函數的情形也一樣 不過基底是無窮維的 基本上已知的 12/14 16:05
20F：→ speedshuffle: 就那幾種 12/14 16:06
21F：→ speedshuffle: 滿足Sturm-Liouville problem所得出的基底都是完備 12/14 16:09
22F：→ speedshuffle: 基底 12/14 16:09
23F：→ wohtp: 樓上你說的好像有點怪怪的耶... 12/14 16:33
24F：→ wohtp: span{(1,2,3), (4,5,6)} 是很乖的二維向量空間。從R^3繼承 12/14 16:36
25F：→ wohtp: inner product過來的話也是完備的。 12/14 16:36
26F：→ wohtp: 絕大部分的R^3的確都不在span{(1,2,3), (4,5,6)}裡面，但這 12/14 16:37
27F：→ wohtp: 只是說明{(1,2,3), (4,5,6)}不是R^3的基底 12/14 16:38
28F：→ speedshuffle: 你這樣一說我也覺得有點怪.. 12/14 17:17
29F：→ speedshuffle: 應該說我觀念錯誤 確實是完備的二維向量空間 12/14 17:23
30F：推 Landau: 除非你對數學有興趣，不然不用管完備是甚麼 12/14 18:06
31F：→ Landau: 對物理學家來說，就是個inner product space 12/14 18:07
32F：→ Landau: 簡單一點說，完備就是保證所有「應該收斂」的數列收斂 12/14 18:09
33F：→ Landau: 所謂「應該收斂」的數列就是愈到後面間距愈小，趨於零的 12/14 18:10
34F：→ Landau: 數列，這種數列就是柯西數列。 12/14 18:11
35F：→ Landau: 舉個簡單的例子，考慮{1/n}在R\{0}中，它是柯西但不收斂 12/14 18:12
36F：→ Landau: 因為我們把0挖掉了。所以完備你可想做是沒有「洞」的空間 12/14 18:14
37F：→ recorriendo: speedshuffle說的是基底complete 不是分析的complete 12/15 02:22
38F：→ speedshuffle: 基底如果完備SPAN的空間可能不是HILBERT SPACE嗎？ 12/15 09:52
39F：推 fermion: 我覺得就物理而言，Hilbert 空間的嚴格定義其實沒那麼重 12/15 11:51
40F：→ fermion: 要。 12/15 11:51
41F：→ fermion: 不過就是n維線性向量空間，加上一些條件罷了。 12/15 11:55
42F：→ recorriendo: 物理上Hilbert space對基底展開常是無窮級數 12/15 16:27
43F：→ recorriendo: 有個取極限的過程 數學上和有限維下的SPAN是不一樣 12/15 16:28
44F：→ recorriendo: 雖然這是很枝微末節的細節 不過嚴格來說Hilbertian 12/15 16:31
45F：→ recorriendo: basis不是complete basis 12/15 16:32
46F：→ recorriendo: 分析上的complete僅是保證這個取極限的動作會收斂 12/15 16:33
47F：→ speedshuffle: 所以如果有一函數對其基底展開成無窮級數 可是她的 12/15 17:06
48F：→ speedshuffle: NORM值不存在 也就是說平方不可積 那此級數必定發散 12/15 17:08
49F：→ speedshuffle: 所以這組基底的內積空間就不是HILBER SPACE？ 12/15 17:08
50F：→ recorriendo: 看不懂你的問題 1.SPAN本身的定義是有窮和 所以基底 12/16 02:48
51F：→ recorriendo: 的SPAN要完備化(加入極限點)才會是Hilbert space 12/16 02:49
52F：→ recorriendo: 2.即使此你那個函數還是不在這個空間裡啊 12/16 02:50