作者dd259 (Dr.Mouth)
看板Physics
标题[问题] 关於Hilbert space的一些问题
时间Sun Dec 13 13:53:35 2015
小弟我最近在学校修物理数学(三)
里面在介绍一些量物要用到的数学基础
但是以下两个名词我已经查了无数资料但是就是看不懂啊~
第一个是Hilbert space,我只觉得好像只要是完备的内积空间就是Hilbert space
，但是到底要怎麽判断一个set有没有在Hilbert space里面啊? 还有有没有什麽更简易好懂的方法来理解什麽是Hilbert space....
第二个就是到底要怎麽判断是否具有完备性，我查到的资料有提到什麽柯西序列的，但是那实在是很难理解的一个东西，有看没有懂...
跪求板上物理知识雄厚的人们帮我解惑了
能解释的越简单理解越好QQ
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1F：推 tiger790815: 也可以问数学版看看 12/13 14:01
2F：→ wohtp: 推文回应都回溯掉了 ╮(╯_╰)╭ 12/14 00:31
3F：→ wohtp: 那就再说一次：量力会碰到的Hilbert space，你都当作维度可 12/14 00:33
4F：→ wohtp: 数、有内积的向量空间去想就好了。 12/14 00:33
5F：→ wohtp: Hilbert space的定义是把没有可数基底的空间也包涵进去。 12/14 00:42
6F：→ wohtp: 但是...反正当这些不可数／无限小／无限大造成问题的时候， 12/14 00:43
7F：→ wohtp: 搞物理的第一个直觉就是逃回格点或甜甜圈上面去，把问题变 12/14 00:43
8F：→ wohtp: 成有可数基底 XD 12/14 00:44
9F：→ wohtp: 所以拿向量空间来当成直觉图像不会有什麽大问题。 12/14 00:46
10F：→ wohtp: 要是想知道真正的数学意义，你还是先从高微啃起吧 12/14 00:49
11F：→ kuromu: inner product space ⊂ normed space ⊂ metric space 12/14 02:04
12F：→ kuromu: ↓ ↓ ↓ (完备化) 12/14 02:05
13F：→ kuromu: Hilbert space ⊂ Banach space ⊂ complete metric 12/14 02:08
14F：→ kuromu: space 12/14 02:09
15F：→ kuromu: 不知道有没有错 12/14 02:09
16F：→ speedshuffle: 举个例子 给定三维向量(1,2,3)跟(4,5,6) 你能找到 12/14 15:35
17F：→ speedshuffle: 不为零的C1 C2 使C1(1,2,3)+C2(4,5,6)=(7,8,9)吗? 12/14 15:37
18F：→ speedshuffle: 如果不行的话表示这两个向量不是完备的内积空间 12/14 15:38
19F：→ speedshuffle: 函数的情形也一样 不过基底是无穷维的 基本上已知的 12/14 16:05
20F：→ speedshuffle: 就那几种 12/14 16:06
21F：→ speedshuffle: 满足Sturm-Liouville problem所得出的基底都是完备 12/14 16:09
22F：→ speedshuffle: 基底 12/14 16:09
23F：→ wohtp: 楼上你说的好像有点怪怪的耶... 12/14 16:33
24F：→ wohtp: span{(1,2,3), (4,5,6)} 是很乖的二维向量空间。从R^3继承 12/14 16:36
25F：→ wohtp: inner product过来的话也是完备的。 12/14 16:36
26F：→ wohtp: 绝大部分的R^3的确都不在span{(1,2,3), (4,5,6)}里面，但这 12/14 16:37
27F：→ wohtp: 只是说明{(1,2,3), (4,5,6)}不是R^3的基底 12/14 16:38
28F：→ speedshuffle: 你这样一说我也觉得有点怪.. 12/14 17:17
29F：→ speedshuffle: 应该说我观念错误 确实是完备的二维向量空间 12/14 17:23
30F：推 Landau: 除非你对数学有兴趣，不然不用管完备是甚麽 12/14 18:06
31F：→ Landau: 对物理学家来说，就是个inner product space 12/14 18:07
32F：→ Landau: 简单一点说，完备就是保证所有「应该收敛」的数列收敛 12/14 18:09
33F：→ Landau: 所谓「应该收敛」的数列就是愈到後面间距愈小，趋於零的 12/14 18:10
34F：→ Landau: 数列，这种数列就是柯西数列。 12/14 18:11
35F：→ Landau: 举个简单的例子，考虑{1/n}在R\{0}中，它是柯西但不收敛 12/14 18:12
36F：→ Landau: 因为我们把0挖掉了。所以完备你可想做是没有「洞」的空间 12/14 18:14
37F：→ recorriendo: speedshuffle说的是基底complete 不是分析的complete 12/15 02:22
38F：→ speedshuffle: 基底如果完备SPAN的空间可能不是HILBERT SPACE吗？ 12/15 09:52
39F：推 fermion: 我觉得就物理而言，Hilbert 空间的严格定义其实没那麽重 12/15 11:51
40F：→ fermion: 要。 12/15 11:51
41F：→ fermion: 不过就是n维线性向量空间，加上一些条件罢了。 12/15 11:55
42F：→ recorriendo: 物理上Hilbert space对基底展开常是无穷级数 12/15 16:27
43F：→ recorriendo: 有个取极限的过程 数学上和有限维下的SPAN是不一样 12/15 16:28
44F：→ recorriendo: 虽然这是很枝微末节的细节 不过严格来说Hilbertian 12/15 16:31
45F：→ recorriendo: basis不是complete basis 12/15 16:32
46F：→ recorriendo: 分析上的complete仅是保证这个取极限的动作会收敛 12/15 16:33
47F：→ speedshuffle: 所以如果有一函数对其基底展开成无穷级数 可是她的 12/15 17:06
48F：→ speedshuffle: NORM值不存在 也就是说平方不可积 那此级数必定发散 12/15 17:08
49F：→ speedshuffle: 所以这组基底的内积空间就不是HILBER SPACE？ 12/15 17:08
50F：→ recorriendo: 看不懂你的问题 1.SPAN本身的定义是有穷和 所以基底 12/16 02:48
51F：→ recorriendo: 的SPAN要完备化(加入极限点)才会是Hilbert space 12/16 02:49
52F：→ recorriendo: 2.即使此你那个函数还是不在这个空间里啊 12/16 02:50