作者Lanjaja ()
看板Physics
標題[問題] 狹義相對論 光速行進的粒子
時間Fri Oct 9 19:29:21 2015
【出處】(習題或問題的出處)
長久以來只知道結果，可是想知道狹義相對論如何真正推導證明光子性質
【題目】(題目的文字敘述，如有圖片亦可提供圖片)
在狹義相對論下證明
(1)如果在某一個慣性系下有個粒子速度=光速c，證明在其他任意慣性系下測
出來的粒子速度也同樣會是光速c
(2)這種粒子的靜止質量=0
【瓶頸】(解題瓶頸或思考脈絡，請盡量詳述以利回答者知道要從何處講解指導)
(1)Lorentz轉換要求|v|<c，不能等於c，否則γ會變成無窮大。既然如此，
在不同慣性系下的速度轉換式中直接把物體運動速度(v_x,v_y,v_z)用光速
向量代進去不會矛盾嗎？我是得到c，但這種做法邏輯上有瑕疵，我不能夠接受。
(2)曾經想過用4-vector的(E/c)^2 - p^2 = (mc)^2，又古典電磁學光子E=pc
所以m=0。我不能夠接受的理由：
(a)E=pc是電磁波才適用的，我們已經假設是光速行進的粒子，不應該因為同樣
行進速度是c，就直接認定那個粒子就是光，繼而直接套用E=pc的結果。
(b)就算是古典電磁學E=pc，E,p也是古典的量，E和p在相對論都遭到修正，狹義
相對論的E,p根本就不能夠確定和古典的一不一樣，怎麼能夠亂套？
想請問能不能用4-vector或張量及u_i·u_i=c^2恆等式推出靜止m=0?
想請各位先進幫忙解答一下這些問題，感謝回答
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1F：推 kuromu: Lorentz轉換是座標系的速度 不是被觀察物的速度? 10/09 19:34
2F：→ Lanjaja: 對，我有注意到，但是慣性系速度要求不能達光速，卻允許 10/09 19:36
3F：→ Lanjaja: 粒子能用光速運動，不是很奇怪嗎？ 10/09 19:37
4F：→ kuromu: 光速不變應該是假設吧 10/09 19:43
5F：→ wohtp: 所以光速跟其他速度不一樣，以光速行進的「物體」也不是我 10/09 19:43
6F：→ wohtp: 們身邊的這些普通物體 10/09 19:44
7F：→ Lanjaja: 這樣子討論光速行進的粒子，是不是從一開始就沒什麼意義? 10/09 19:45
8F：→ wohtp: 停得下來的東西都不可能達到光速，達到光速的東西都不可能 10/09 19:45
9F：→ Lanjaja: 從頭到尾我們唯一知道光速行進的東西就是光而已。相對論 10/09 19:46
10F：→ Lanjaja: 中的物體應該侷限在指定具有靜止質量的東西。 10/09 19:46
11F：→ wohtp: 在任何座標系停下來，兩者完全沒有交集，所以沒有原po想的 10/09 19:47
12F：→ wohtp: 問題 10/09 19:47
13F：→ Lanjaja: 好吧，那第二題修改成證明光的靜止質量=0，我就只能向各 10/09 19:48
14F：→ wohtp: 啊，我的意思是，沒有原po推文裡所說「差別待遇」的問題 10/09 19:48
15F：→ Lanjaja: 位高手請教了，因為那個恆等式就不能夠用，我就不知道該 10/09 19:48
16F：→ Lanjaja: 怎麼辦了.... 10/09 19:49
17F：→ Lanjaja: 所以w大是認為第一題粒子速度代向量c也可以囉？除了速度 10/09 19:51
18F：→ Lanjaja: 轉換公式，還有沒有其他方法能夠證明第一題？ 10/09 19:51
19F：→ kuromu: 有的根本捨棄靜止質量的概念 只有能量 動量 10/09 19:52
20F：→ wohtp: 1. 光速不變是相對論的公設，沒得證明 10/09 19:53
21F：→ wohtp: 不如說LT根本就是以光速不變為前提導出來的必然結果 10/09 19:54
22F：→ wohtp: 2. (E, p) 是向量，所以座標變換是照著LT做 10/09 19:55
23F：→ wohtp: 然後我們知道LT保 (E^2 - p^2) 10/09 19:56
24F：→ Lanjaja: (E/c,p)是4-vector是由具有靜止質量的粒子和proper time 10/09 19:57
25F：→ wohtp: 如果 E != p，則我們可以LT到某個座標系： 10/09 19:57
26F：→ wohtp: (E, p) --> (E', 0) 10/09 19:57
27F：→ Lanjaja: 定義出來的，光子proper time不會改變，dτ是0，這樣沒辦 10/09 19:58
28F：→ Lanjaja: 法知道光子的(E/c,p)也是4-vector 10/09 19:59
29F：→ kuromu: 有的是把相對論直接用4-vector重寫 10/09 20:00
30F：→ kuromu: 變成說任何東西都可以那樣寫 根據E^2 - p^2不變量做分類 10/09 20:01
31F：→ wohtp: 我不是從 4-velocity 定義 4-momentum，所以暫時還沒有碰到 10/09 20:01
32F：→ wohtp: proper time = 0 的問題 10/09 20:01
33F：→ Lanjaja: 我甚至覺得連光的u(=dx/dτ)都沒辦法定義 10/09 20:01
34F：→ wohtp: 應該這麼說，假設光子也可以有 4-momentum，那 E 和 p 的關 10/09 20:02
35F：→ wohtp: 係要是什麼 10/09 20:02
36F：→ Lanjaja: 可以如果不用4-vector，怎麼知道(E/c,p)遵守LT? 10/09 20:04
37F：→ wohtp: 光子的 (t, x) 不管怎麼轉換都是 |dx/dt| = c (= 1) 10/09 20:05
38F：→ wohtp: 可是如果 E != p，你就可以轉換到某個座標，雖然光子還在 10/09 20:05
39F：→ wohtp: 跑，但是 p' = 0 10/09 20:05
40F：→ Lanjaja: k大的作法比較像是將光和粒子直接分開討論 10/09 20:06
41F：→ wohtp: 我的前提是：ok，我根本不能保證光速前進的粒子可以有 10/09 20:07
42F：→ Lanjaja: 所以w大的意思是光的x_0=cτ沒有所謂的ct? 10/09 20:08
43F：→ wohtp: 4-momemtum這樣的東西，就算有，我也不知道(E, p)和(t, x) 10/09 20:08
44F：→ wohtp: 之間有什麼關係。 10/09 20:08
45F：→ wohtp: 但是，如果真的有這個 4-momentum，要嘛你就得接受一顆光子 10/09 20:09
46F：→ wohtp: p = 0 的時候還到處趴趴走的事實，要嘛你就只好限制 E = p 10/09 20:09
47F：→ Lanjaja: 我一直卡在一個地方，如果要算4-momentum，就要先定義出u 10/09 20:11
48F：→ Lanjaja: u=dx/dτ=dx/dt*dt/dτ 光的|dx/dt|=c，可是dt/dτ會爆 10/09 20:12
49F：→ wohtp: 那就是你在用 4-velocity 定義 4-momentum 啊。 10/09 20:13
50F：→ Lanjaja: 我了解w大關於p' = 0的論證方式，現在只差把光的(ct,x)和 10/09 20:13
51F：→ wohtp: 我就說我的前提是我根本不知道光速粒子的 4-momentum 是什 10/09 20:13
52F：→ wohtp: 麼鬼 10/09 20:13
53F：→ Lanjaja: (E/c,p)的LT關聯如何建立起來 10/09 20:14
54F：→ wohtp: 只是，如果真的有這種東西，然後 p 又得某種程度上和 dx/dt 10/09 20:14
55F：→ wohtp: 扯上關係，那你就只好限制 E = p 10/09 20:15
56F：→ Lanjaja: 那光子的|dx/dt|=c和光子的動量怎麼做連結?光速恆定，動 10/09 20:15
57F：→ Lanjaja: 量不能為0嗎？光速恆定，動量可以改變，也有可能為0?在還 10/09 20:16
58F：→ Lanjaja: 不知道動量和光速之間的關係前？ 10/09 20:16
59F：→ wohtp: ok，所以你現在的問題是，侷限在光子上面，你要怎麼實際上 10/09 20:16
60F：→ wohtp: 定義一個 4-momentum 10/09 20:17
61F：→ Lanjaja: 對，就是卡在這個問題 10/09 20:18
62F：→ wohtp: 那你得先知道光子是什麼。也就是說，要從寫下 Maxwell 10/09 20:22
63F：→ wohtp: Laguagian 開始，然後量子化 10/09 20:22
64F：→ wohtp: 然後光子的 dispersion 馬上就跟著掉出來了。 10/09 20:23
65F：→ wohtp: 或者說你可以不碰量子場論，從古典電磁學就可以定義電磁波 10/09 20:25
66F：→ wohtp: 的能量密度和動量密度，然後說光子是電磁波所以必須 E = p 10/09 20:25
67F：→ Lanjaja: w大的意思是從那些理論得到E=pc?還是其他結果? 10/09 20:26
68F：→ Lanjaja: 好吧，我記得狹義相對論好像要保持Maxwell eqn所以E=pc也 10/09 20:27
69F：→ Lanjaja: 要跟著成立，應該是這樣吧? 10/09 20:27
70F：→ Lanjaja: 謝謝w大，所以光子基本上沒有4-velocity但是有4-momentum 10/09 20:29
71F：→ wohtp: 是的。你要先量子化電磁場才看得到光子，然後就可以導出光 10/09 20:30
72F：→ wohtp: 子的各種性質，包括 4-momentum 10/09 20:30
73F：→ Lanjaja: 好的，有一點點瞭解了，粒子終究和光是要分別處理。謝謝w 10/09 20:32
74F：→ wohtp: 至於用古典電磁學的 E = p 那個途徑，因為古典電磁學沒有光 10/09 20:32
75F：→ Lanjaja: 大花那麼多時間講解，我有空再翻電磁場量子化。也謝謝k大 10/09 20:32
76F：→ wohtp: 子，所以你要自己動手強加一個光子 = 電磁波這樣的概念進去 10/09 20:33
77F：→ Lanjaja: 古典有ω/k=c，量子上下通分乘以h-bar就是量子化結果? 10/09 20:34
78F：→ Lanjaja: 好的，我會再讀讀那方面的東西，感謝w大 10/09 20:34
79F：→ wohtp: 這個問題最後給我們的教訓就是：光速前進的粒子沒有 10/09 20:35
80F：→ wohtp: 4-velocity，所以就連它有沒有4-momentum這件事都難說 10/09 20:36
81F：→ wohtp: 要定義 4-momentum 就要給我更多關於這個粒子的資訊 10/09 20:37
82F：→ Lanjaja: 嗯，讓我感覺狹義相對論討論光速行進的粒子好像只是應景 10/09 20:38
83F：→ Lanjaja: 一下，搭上量子物理中光子的概念 10/09 20:38
84F：→ wohtp: 所以我也學到東西。半個小時前我還是被「光速 = 無質量」徹 10/09 20:39
85F：→ wohtp: 底洗腦的人。 10/09 20:39
86F：推 zealeliot: 推這篇的推文 板主可以收嗎? @@ 10/10 00:00
87F：推 barabara: 會違反Maxwell的某個定律 如果粒子也以光速行進，那磁通 10/10 11:26
88F：→ barabara: 量變化為0 10/10 11:26
89F：→ Lanjaja: 可以解釋一下為什麼磁通量變化為0? 10/10 12:38
90F：推 barabara: 電磁波分量有電場和磁場，如果粒子以光速移動，電磁波也 10/10 20:08
91F：→ barabara: 是，那對粒子而言從頭到尾磁場皆一樣，視為常數，對時 10/10 20:08
92F：→ barabara: 間偏微為0 10/10 20:08
93F：推 kuromu: 這樣只是和 [觀察座標系速度不能達光速，卻允許被觀察的物 10/10 21:18
94F：→ kuromu: 體可以光速行進] 一致而已？ 10/10 21:18
95F：→ kuromu: 且電磁場分量本來就會隨觀察者不同改變 10/10 21:20
96F：→ kuromu: 只要電磁場的變換是根據LT即可 10/10 21:21
97F：→ kuromu: 印象中等加速度的物體x-t圖大概長這樣 10/10 21:52
99F：→ kuromu: comoving frame大概是那樣變化 所以可預測光速時坐標軸 10/10 21:54
100F：→ kuromu: 可能的樣子 10/10 21:54