作者wohtp (會喵喵叫的大叔)
看板Physics
標題Re: [閒聊] 量子力學的不確定性是否來自於非線性項?
時間Mon May 4 00:21:36 2015
我稍微想了一下最早原po講的東西。大家看一下哪裡可能有問題。
量子力學的 dynamical variable 是 state |ψ(t) >，其運動方程式是
i d/dt |ψ(t) > = H |ψ(t) >
1. 如果我們知道 |< p |ψ(t) >|^2 和 |< x |ψ(t) >|^2 ，
是否就可以找到 |ψ(t) > (up to a phase)？
也就是說，是否可以用一個 phase space 上面的 PDF 去完全等價的
描述 |ψ(t) > 所包含的訊息？
2. 假設 1 是正確的。
令 θ(p; t) = |< p |ψ(t) >|^2
ρ(x; t) = |< x |ψ(t) >|^2
我們就可以用 ρ(x)θ(p) 來表示 |ψ >。
當然 ρ 和 θ 不能隨便亂選，因為 |x> 和 |p> 互為 Fourier transform。
所以這會變成一個constraint on initial condition。
3. 運動方程式很容易就可以寫下來：
∂/∂t ( ρ(x; t)θ(p; t) )
= < p | H |ψ(t) > <ψ(t)| p > |< x |ψ(t) >|^2
+ |< p |ψ(t) >|^2 < x | H |ψ(t) > <ψ(t)| x >
+ h.c.
這是從Schrodinger直接過來的，所以保證機率守恆。
找得到 probability current 的話，應該可以寫得出一個 one-parameter (t)
family of phase space automorphisms，來描述ρθ的運動。對吧？
4. 我們知道任意 Hamiltonian evolution 都可以看成這樣的 family of mappings。
反過來呢？有了mappings，是不是一定可以造得出 Hamiltonian dynamics？
5. 就算給你造出來了，我強烈懷疑只要換個 initial state |ψ>，
你的 Hamiltonian dynamics 就要跟著變...
6. 以上每一步在數學上都應該是等價關係。但不代表你可以拿這個來「解釋」什麼。
你很難說服我，為什麼連 free particle 這個線性得不能再線性的系統，骨子
裡都需要一堆非線性項？
7. 就算給你造出來了，你連 free particle 都不會解啊！
8. 最後，也許這一套東西最大的用處會是反過來把古典的非線性問題 map 到
比較好解的量子問題上面去...如果你做得出來的話啦。
我古典力學很爛，大家要鞭請下手輕一點 XD
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※ 編輯: wohtp (123.110.140.216), 05/04/2015 00:22:51
※ 編輯: wohtp (123.110.140.216), 05/04/2015 00:24:35
1F：→ caseypie: 第三步的找到probability current是什麼意思？ 05/04 02:13
現在我的state是表示成(x, p)平面上的PDF，所以time evolution可以看成
probability density的流動。
然後這個流動可以看成是底下的(x, p)平面自己在變形，帶著平面上頭的機率跑。
所以我猜想這個或許可以寫成 classical Hamiltonian dynamics...
...不過我現在肯定這猜想100%是錯的。
Hamiltonian dynamics保面積，所以你拿一個 phase space 上面的 PDF 做
time evolution 得到的 probability current 必須是 div-less。
Free particle Gaussian wave packet就是一個反例。
因為 |p> 是 energy eigenstate，θ(p) 不會變。然後我們都知道 ρ(x)
會先變尖再變扁。
所以 ρ(x)θ(p) 的流向是從外面先流往 x = 0 堆積起來，然後又從中間
往外擴散出去。Divergence明顯不是零。
所以原po可以洗洗睡了。總之沒有古典力學系統可以給你跟量子力學等價的
結果，不管你加進非線性還是混沌什麼都好。
※ 編輯: wohtp (123.110.140.216), 05/04/2015 23:21:48
2F：→ caseypie: 我現在應該是勉強看懂了，你的ρ(x; t)θ(p; t)是古典 05/05 09:00
3F：→ caseypie: 力學裡的ρ(p,q; t)？這個的t導數是你說的prob current? 05/05 09:00
4F：→ caseypie: 如果我的理解沒錯的話那第三步的d/dt全微分必為0？ 05/05 09:01
5F：→ caseypie: 那第三步等號右邊那一串要等於零...找反例看起來很簡單 05/05 09:02
啊...是ρ(p,q; t)沒錯啦。我以為不用特別說大家也會想到的。
因為量力沒有「在位置 q 測量動量 p」之類的事，要嘛你就量 p，
要嘛你就量 q，所以 ρ(p,q) 才變成兩項獨立PDF的乘積。
（當然只是看起來「獨立」，骨子裡還是得對應同一個 |ψ> 。）
然後第三步那個應該是偏微分，感謝指正。
6F：推 sunev: wigner function? 05/05 10:10
那是做完coarse graining把canonical commutation relation搞得看不見以後的產物。
這串的原po想要用classical dynamics來解說uncertainty principle，
所以首先你就不能把它弄不見 XD
7F：→ caseypie: 我只是覺得看起來太複雜了，應該沒那麼剛好XD 05/05 10:12
※ 編輯: wohtp (123.110.140.216), 05/05/2015 19:35:35
8F：→ caseypie: 那其實你最後說的就是檢查ρθ是否滿足Liouville's thm 05/05 20:02
9F：→ caseypie: 而隨便找個Gaussian wave packet都不滿足....XD 05/05 20:03
10F：→ caseypie: prob curren的div就是第三步的右式吧（差負號） 05/05 20:04
應該是的。
※ 編輯: wohtp (123.110.140.216), 05/05/2015 20:09:56
11F：推 sunev: 抱歉，雖然我不是很懂，但wigner funtion和原來的QM應該 05/06 08:22
12F：→ sunev: 是等價的？ 05/06 08:23
查了一下Wiki，發現我記成別的東西了。你對，是等價。
但代價就是Wigner function會有負值所以其實不能算PDF。
※ 編輯: wohtp (123.110.140.216), 05/06/2015 17:28:36