作者wohtp (会喵喵叫的大叔)
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标题Re: [闲聊] 量子力学的不确定性是否来自於非线性项?
时间Mon May 4 00:21:36 2015
我稍微想了一下最早原po讲的东西。大家看一下哪里可能有问题。
量子力学的 dynamical variable 是 state |ψ(t) >，其运动方程式是
i d/dt |ψ(t) > = H |ψ(t) >
1. 如果我们知道 |< p |ψ(t) >|^2 和 |< x |ψ(t) >|^2 ，
是否就可以找到 |ψ(t) > (up to a phase)？
也就是说，是否可以用一个 phase space 上面的 PDF 去完全等价的
描述 |ψ(t) > 所包含的讯息？
2. 假设 1 是正确的。
令 θ(p; t) = |< p |ψ(t) >|^2
ρ(x; t) = |< x |ψ(t) >|^2
我们就可以用 ρ(x)θ(p) 来表示 |ψ >。
当然 ρ 和 θ 不能随便乱选，因为 |x> 和 |p> 互为 Fourier transform。
所以这会变成一个constraint on initial condition。
3. 运动方程式很容易就可以写下来：
∂/∂t ( ρ(x; t)θ(p; t) )
= < p | H |ψ(t) > <ψ(t)| p > |< x |ψ(t) >|^2
+ |< p |ψ(t) >|^2 < x | H |ψ(t) > <ψ(t)| x >
+ h.c.
这是从Schrodinger直接过来的，所以保证机率守恒。
找得到 probability current 的话，应该可以写得出一个 one-parameter (t)
family of phase space automorphisms，来描述ρθ的运动。对吧？
4. 我们知道任意 Hamiltonian evolution 都可以看成这样的 family of mappings。
反过来呢？有了mappings，是不是一定可以造得出 Hamiltonian dynamics？
5. 就算给你造出来了，我强烈怀疑只要换个 initial state |ψ>，
你的 Hamiltonian dynamics 就要跟着变...
6. 以上每一步在数学上都应该是等价关系。但不代表你可以拿这个来「解释」什麽。
你很难说服我，为什麽连 free particle 这个线性得不能再线性的系统，骨子
里都需要一堆非线性项？
7. 就算给你造出来了，你连 free particle 都不会解啊！
8. 最後，也许这一套东西最大的用处会是反过来把古典的非线性问题 map 到
比较好解的量子问题上面去...如果你做得出来的话啦。
我古典力学很烂，大家要鞭请下手轻一点 XD
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※ 编辑: wohtp (123.110.140.216), 05/04/2015 00:22:51
※ 编辑: wohtp (123.110.140.216), 05/04/2015 00:24:35
1F：→ caseypie: 第三步的找到probability current是什麽意思？ 05/04 02:13
现在我的state是表示成(x, p)平面上的PDF，所以time evolution可以看成
probability density的流动。
然後这个流动可以看成是底下的(x, p)平面自己在变形，带着平面上头的机率跑。
所以我猜想这个或许可以写成 classical Hamiltonian dynamics...
...不过我现在肯定这猜想100%是错的。
Hamiltonian dynamics保面积，所以你拿一个 phase space 上面的 PDF 做
time evolution 得到的 probability current 必须是 div-less。
Free particle Gaussian wave packet就是一个反例。
因为 |p> 是 energy eigenstate，θ(p) 不会变。然後我们都知道 ρ(x)
会先变尖再变扁。
所以 ρ(x)θ(p) 的流向是从外面先流往 x = 0 堆积起来，然後又从中间
往外扩散出去。Divergence明显不是零。
所以原po可以洗洗睡了。总之没有古典力学系统可以给你跟量子力学等价的
结果，不管你加进非线性还是混沌什麽都好。
※ 编辑: wohtp (123.110.140.216), 05/04/2015 23:21:48
2F：→ caseypie: 我现在应该是勉强看懂了，你的ρ(x; t)θ(p; t)是古典 05/05 09:00
3F：→ caseypie: 力学里的ρ(p,q; t)？这个的t导数是你说的prob current? 05/05 09:00
4F：→ caseypie: 如果我的理解没错的话那第三步的d/dt全微分必为0？ 05/05 09:01
5F：→ caseypie: 那第三步等号右边那一串要等於零...找反例看起来很简单 05/05 09:02
啊...是ρ(p,q; t)没错啦。我以为不用特别说大家也会想到的。
因为量力没有「在位置 q 测量动量 p」之类的事，要嘛你就量 p，
要嘛你就量 q，所以 ρ(p,q) 才变成两项独立PDF的乘积。
（当然只是看起来「独立」，骨子里还是得对应同一个 |ψ> 。）
然後第三步那个应该是偏微分，感谢指正。
6F：推 sunev: wigner function? 05/05 10:10
那是做完coarse graining把canonical commutation relation搞得看不见以後的产物。
这串的原po想要用classical dynamics来解说uncertainty principle，
所以首先你就不能把它弄不见 XD
7F：→ caseypie: 我只是觉得看起来太复杂了，应该没那麽刚好XD 05/05 10:12
※ 编辑: wohtp (123.110.140.216), 05/05/2015 19:35:35
8F：→ caseypie: 那其实你最後说的就是检查ρθ是否满足Liouville's thm 05/05 20:02
9F：→ caseypie: 而随便找个Gaussian wave packet都不满足....XD 05/05 20:03
10F：→ caseypie: prob curren的div就是第三步的右式吧（差负号） 05/05 20:04
应该是的。
※ 编辑: wohtp (123.110.140.216), 05/05/2015 20:09:56
11F：推 sunev: 抱歉，虽然我不是很懂，但wigner funtion和原来的QM应该 05/06 08:22
12F：→ sunev: 是等价的？ 05/06 08:23
查了一下Wiki，发现我记成别的东西了。你对，是等价。
但代价就是Wigner function会有负值所以其实不能算PDF。
※ 编辑: wohtp (123.110.140.216), 05/06/2015 17:28:36