※ 引述《peter308 (pete)》之銘言： : 從大學部和研究所的量子力學課程 : 我們都能接受一件事那就是 電子的路徑是不可預測的 : 你無法知道一個電子的確切位置 只能知道他在某各地方出現的機率 : 我以前上課其實就把這個結論當作事實直接接受他 : 但似乎老師並沒有真的告訴你電子軌跡不可預測這件事的本質為何? : 因為剛好最近修習了"非線性動力學" : 我想說能否從非線性角度來詮釋這個不可預測性質的本質究竟是什麼 我先問你最簡單的問題,量子力學是線性的還是非線性的? : 1. △x△p≧hbar/2 : 這個測不準定理其實隱藏了非常多的物理訊息含量 測不準關係簡單來說就是Fourier轉換最基本的關係,就像Gibbs現象這種數學 是來自Fourier分析本身理論所造成必然的誤差,你不可能去挑戰這種Fourier轉換基本 的轉換性質 : 他告訴了我們系統phase space單位不是無窮小的而是有個下限的 : 就好像我們在跑模擬運算的時候通常會對位置去取格點的精準度一樣, : 電腦格點有個下限沒辦法在切下去了 你的問題其實就是類似Poincaré recurrence theorem 你自己看證明,我們可以定義phase space的measure是無窮小來解釋這定理 也就是我們指的phase space都是空間中連續的點 http://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_recurrence_theorem : 2. Butterfly effect : 蝴蝶效應告訴了我們,非線性的系統有個很特別的性質就是,在初始點很小的差別 : 可以在時間很久之後造成非常大的誤差. 讓你根本無法追朔到源頭 : (這裡必須注意的一點是有沒渾沌跟bifurcation parameter大小也很有關) : 而這個就是渾沌的現象 : 如果用嚴謹數學定義來講就是,δr=e^(λt)|δr_0| : (δr_0 是初始時間兩個位置點間的變異) : Lyapuno exponent λ 如果是正的表示當系統隨時間演化δr會發散最後就無法知道 : 系統確切位置而進入chaos了 拜託是Lyapunov不是 Lyapuno,請問你的量子力學系統有因為bifurcation造成整個 系統不穩定,或是穩定點改變而崩潰的例子? : 這個δr_0 可以和海森堡測不準原理的△x,△p做出連結, : 因為從測不準我們知道△x,△p不可能趨近於零,所以如果系統是個非線性系統 : 比方說電子系統, 因為複雜的作用力造成了Hamiltionian非線性的性質 即使複雜的作用力造成了Hamiltionian非線性現象,這跟你要問的問題依然無關ok? : 這個因為非線性造成之後運動軌跡不確定性的本質就無法真正消除 你的量子力學應該要當掉吧? 誰跟你量子力學是非線性的 以下懶得看了,你說的這種東西是古典力學系統討論的東西,路徑在古典很明確 在量子力學只要有機率振福,那種路徑就是你無法用什麼常微分方程的數學來討論的 我是在數學所學過一點非線性力學,當時完全沒聽過量子力學用在這套討論數學穩定性上面 當然動力系統也許有人去做什麼量子混沌之類,但是顯然你完全不懂這個非線性的精隨啊 : 或是這樣說 : 電子路徑的不可預測性其實就是來自於海森堡原理設定下的最小格點的這個性質 : 最後透過"非線性這個黑盒子" : 透過 (e^(λt))這個因子(很像電路中的放大器) 去放大他的效應 : 所以說t-> ∞的不可預測性和 t=0時刻 的 海森堡測不準定理其實是一體的兩面 : 想像△x △p 形成的最小格點裡面有許多 (x,p) 點 : (舉個例子可能有100個相空間的點在裡面) : 這一百個點你怎麼知道他們在時間很久之後的運動軌跡是一樣的呢???? : 但因為海森堡測不準定理我們無法分辨出這一百個點的差異,只能說用mean field : 去給予這個格點一個平均之後的(x_ave,p_ave)的值 : 但是δr=e^(λt)|δr_0| 這個式子並沒有對δr_0給出什麼下限 : δr_0 是可以趨近於理想狀況中的無窮小的 : 表示 海森堡最小格點內的不同相點(上述的那100個點中的第1個和第14個,舉例) : 是可能造成爾後運動路徑上的不同的 : 但是因為你無法分清楚(解析)最小格點內那100個相空間點的差異, : 就造成了之後對於電子路徑的不可預測性的現象的發生 : 目前有沒有人對於量子力學本質上不可預測性用這個角度來重新詮釋定義?? : 當然當系統進入渾沌的開始和結束時間點會有一個叫做intermittency : 的現象,他也是造成不可預測性的另一個因素來源 : 簡單講 非線性系統 (Lypanuno expoenent 為正)這個性質讓我們可以在 : t很長時間之後去放大最小格點內不同相空間位置(那100個點,假設)的差異 : 進而造成了之後電子運動軌跡不可預測的這個性質 : 試想 當Lyapuno expoenent 為零或是負數的時候 : △x △p 形成的最小格點內的差異性就不會被放大 : 因此運動軌跡路徑在很長時間之後可以有種收斂性 : 也就是最小格點內的不同相點的路徑最後會趨於一致 : 也就不會破壞這個determinability... : 回到一個問題上面 海森堡測不準定理(設定一個下限給相空間的單位格點) : 這個定理的本質又是什麼?? : 如果我們知道了這個相空間最小單位格點裡面發生的事 又會怎麼樣? --

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