※ 引述《peter308 (pete)》之铭言： : 从大学部和研究所的量子力学课程 : 我们都能接受一件事那就是 电子的路径是不可预测的 : 你无法知道一个电子的确切位置 只能知道他在某各地方出现的机率 : 我以前上课其实就把这个结论当作事实直接接受他 : 但似乎老师并没有真的告诉你电子轨迹不可预测这件事的本质为何? : 因为刚好最近修习了"非线性动力学" : 我想说能否从非线性角度来诠释这个不可预测性质的本质究竟是什麽 我先问你最简单的问题,量子力学是线性的还是非线性的? : 1. △x△p≧hbar/2 : 这个测不准定理其实隐藏了非常多的物理讯息含量 测不准关系简单来说就是Fourier转换最基本的关系,就像Gibbs现象这种数学 是来自Fourier分析本身理论所造成必然的误差,你不可能去挑战这种Fourier转换基本 的转换性质 : 他告诉了我们系统phase space单位不是无穷小的而是有个下限的 : 就好像我们在跑模拟运算的时候通常会对位置去取格点的精准度一样, : 电脑格点有个下限没办法在切下去了 你的问题其实就是类似Poincaré recurrence theorem 你自己看证明,我们可以定义phase space的measure是无穷小来解释这定理 也就是我们指的phase space都是空间中连续的点 http://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_recurrence_theorem : 2. Butterfly effect : 蝴蝶效应告诉了我们,非线性的系统有个很特别的性质就是,在初始点很小的差别 : 可以在时间很久之後造成非常大的误差. 让你根本无法追朔到源头 : (这里必须注意的一点是有没浑沌跟bifurcation parameter大小也很有关) : 而这个就是浑沌的现象 : 如果用严谨数学定义来讲就是,δr=e^(λt)|δr_0| : (δr_0 是初始时间两个位置点间的变异) : Lyapuno exponent λ 如果是正的表示当系统随时间演化δr会发散最後就无法知道 : 系统确切位置而进入chaos了 拜托是Lyapunov不是 Lyapuno,请问你的量子力学系统有因为bifurcation造成整个 系统不稳定,或是稳定点改变而崩溃的例子? : 这个δr_0 可以和海森堡测不准原理的△x,△p做出连结, : 因为从测不准我们知道△x,△p不可能趋近於零,所以如果系统是个非线性系统 : 比方说电子系统, 因为复杂的作用力造成了Hamiltionian非线性的性质 即使复杂的作用力造成了Hamiltionian非线性现象,这跟你要问的问题依然无关ok? : 这个因为非线性造成之後运动轨迹不确定性的本质就无法真正消除 你的量子力学应该要当掉吧? 谁跟你量子力学是非线性的 以下懒得看了,你说的这种东西是古典力学系统讨论的东西,路径在古典很明确 在量子力学只要有机率振福,那种路径就是你无法用什麽常微分方程的数学来讨论的 我是在数学所学过一点非线性力学,当时完全没听过量子力学用在这套讨论数学稳定性上面 当然动力系统也许有人去做什麽量子混沌之类,但是显然你完全不懂这个非线性的精随啊 : 或是这样说 : 电子路径的不可预测性其实就是来自於海森堡原理设定下的最小格点的这个性质 : 最後透过"非线性这个黑盒子" : 透过 (e^(λt))这个因子(很像电路中的放大器) 去放大他的效应 : 所以说t-> ∞的不可预测性和 t=0时刻 的 海森堡测不准定理其实是一体的两面 : 想像△x △p 形成的最小格点里面有许多 (x,p) 点 : (举个例子可能有100个相空间的点在里面) : 这一百个点你怎麽知道他们在时间很久之後的运动轨迹是一样的呢???? : 但因为海森堡测不准定理我们无法分辨出这一百个点的差异,只能说用mean field : 去给予这个格点一个平均之後的(x_ave,p_ave)的值 : 但是δr=e^(λt)|δr_0| 这个式子并没有对δr_0给出什麽下限 : δr_0 是可以趋近於理想状况中的无穷小的 : 表示 海森堡最小格点内的不同相点(上述的那100个点中的第1个和第14个,举例) : 是可能造成尔後运动路径上的不同的 : 但是因为你无法分清楚(解析)最小格点内那100个相空间点的差异, : 就造成了之後对於电子路径的不可预测性的现象的发生 : 目前有没有人对於量子力学本质上不可预测性用这个角度来重新诠释定义?? : 当然当系统进入浑沌的开始和结束时间点会有一个叫做intermittency : 的现象,他也是造成不可预测性的另一个因素来源 : 简单讲 非线性系统 (Lypanuno expoenent 为正)这个性质让我们可以在 : t很长时间之後去放大最小格点内不同相空间位置(那100个点,假设)的差异 : 进而造成了之後电子运动轨迹不可预测的这个性质 : 试想 当Lyapuno expoenent 为零或是负数的时候 : △x △p 形成的最小格点内的差异性就不会被放大 : 因此运动轨迹路径在很长时间之後可以有种收敛性 : 也就是最小格点内的不同相点的路径最後会趋於一致 : 也就不会破坏这个determinability... : 回到一个问题上面 海森堡测不准定理(设定一个下限给相空间的单位格点) : 这个定理的本质又是什麽?? : 如果我们知道了这个相空间最小单位格点里面发生的事 又会怎麽样? --

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