作者peter308 (pete)
看板Physics
標題[閒聊] 量子力學的不確定性是否來自於非線性項?
時間Sat May 2 12:41:26 2015
從大學部和研究所的量子力學課程
我們都能接受一件事那就是 電子的路徑是不可預測的
你無法知道一個電子的確切位置 只能知道他在某各地方出現的機率
我以前上課其實就把這個結論當作事實直接接受他
但似乎老師並沒有真的告訴你電子軌跡不可預測這件事的本質為何?
因為剛好最近修習了"非線性動力學"
我想說能否從非線性角度來詮釋這個不可預測性質的本質究竟是什麼
1. △x△p≧hbar/2
這個測不準定理其實隱藏了非常多的物理訊息含量
他告訴了我們系統phase space的單位不是無窮小的而是有個下限的
就好像我們在跑模擬運算的時候通常會對位置去取格點的精準度一樣,
電腦格點有個下限沒辦法在切下去了
2. Butterfly effect
蝴蝶效應告訴了我們,非線性的系統有個很特別的性質就是,在初始點很小的差別
可以在時間很久之後造成非常大的誤差. 讓你根本無法追朔到源頭
(這裡必須注意的一點是有沒渾沌跟bifurcation parameter大小也很有關)
而這個就是渾沌的現象
如果用嚴謹數學定義來講就是,δr=e^(λt)|δr_0|
(δr_0 是初始時間兩個相空間位置點間的變異)
Lyapuno exponent λ 如果是正的表示當系統隨時間演化δr會發散最後就無法知道
系統確切位置而進入chaos了
這個δr_0 可以和海森堡測不準原理的△x,△p做出連結,
因為從測不準我們知道△x,△p不可能趨近於零,所以如果系統是個非線性系統
比方說電子系統, 因為複雜的作用力造成了Hamiltionian非線性的性質
這個因為非線性造成之後運動軌跡不確定性的本質就無法真正消除
或是這樣說
電子路徑的不可預測性其實就是來自於海森堡原理設定下的最小格點的這個性質
最後透過"非線性Hamiltonian這個黑盒子"
透過 (e^(λt))這個因子(很像電路中的放大器) 去放大他的效應
所以說t-> ∞的不可預測性和 t=0時刻 的 海森堡測不準定理其實是一體的兩面
想像(△x ．△p) 形成的最小格點裡面有許多 (x,p) 點
(舉個例子可能有100個相空間的點在裡面)
這一百個點你怎麼知道他們在時間很久之後的運動軌跡是一樣的呢????
但因為海森堡測不準定理我們無法分辨出這一百個點的差異,只能說用mean field
去給予這個格點一個平均之後的(x_ave,p_ave)的值
但是δr=e^(λt)|δr_0| 這個式子並沒有對δr_0給出什麼下限
δr_0 是可以趨近於理想狀況中的無窮小的
表示 海森堡最小格點內的不同相點(上述的那100個點中的第1個和第14個,舉例)
是可能造成爾後運動路徑上的不同的
但是因為你無法分清楚(解析)最小格點內那100個相空間點間的差異,
就造成了之後對於電子路徑的不可預測性的現象的發生
目前有沒有人對於量子力學本質上不可預測性用這個角度來重新詮釋定義??
當然當系統進入渾沌的開始和結束時間點會有一個叫做intermittency
的現象,他也是造成不可預測性的另一個因素來源
簡單講 非線性系統 (Lypanuno expoenent 為正)這個性質讓我們可以在
t很長時間之後去放大最小格點內不同相空間位置(那100個點,假設)的差異
進而造成了之後電子運動軌跡不可預測的這個性質
試想 當Lyapuno expoenent 為零或是負數的時候
(△x．△p) 形成的最小格點內的差異性就不會被放大
因此運動軌跡路徑在很長時間之後可以有種收斂性
也就是最小格點內的不同相點的路徑差最後過了一段時間後會趨於零
也就不會破壞這個determinability...
回到一個問題上面 海森堡測不準定理(設定一個下限給相空間的單位格點)
這個定理的本質又是什麼??
如果我們知道了這個相空間最小單位格點裡面發生的事 又會怎麼樣?
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 182.235.147.55
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1F：→ yarnball: 幹嘛又要發兩次 根本就和非線性沒關係05/02 12:49
重點是那個Lyapuno expoenent 為正的這個性質要被滿足
非線性系統大多有這個特點
2F：推 sukeda: Hidden variable 表示05/02 14:09
※ 編輯: peter308 (182.235.147.55), 05/02/2015 14:15:52
3F：→ a19820901: 據我理解 量力的精髓就是線性疊加05/02 14:53
※ 編輯: peter308 (182.235.147.55), 05/02/2015 18:18:39
※ 編輯: peter308 (223.139.164.162), 05/02/2015 19:26:45
4F：→ wohtp: 舉一個簡單的反例給你： 05/02 19:54
5F：→ wohtp: 考慮 △x --> 0 的情況。 05/02 19:54
6F：→ wohtp: 不管你的非線性項要怎麼寫，古典物理的dynamic都是一個點只 05/02 19:56
7F：→ wohtp: 有一條軌跡，所以取這個極限時你必須要等無限長的時間才能 05/02 19:57
8F：→ wohtp: 看到機率分布擴散開來 05/02 19:57
9F：→ wohtp: 然後，既然原po似乎有學過真正的量子力學（而不是看了什麼 05/02 19:58
10F：→ wohtp: 科普節目就以為懂了），我想你應該知道趨近 delta-function 05/02 19:59
11F：→ wohtp: 的波函數會怎麼擴張。 05/02 19:59
12F：→ wohtp: 至於那個uncertainty principle造成phase space的格點... 05/02 20:20
13F：→ wohtp: 以字面上來理解，這句話問題非常大。但是我知道你的重點不 05/02 20:21
14F：→ wohtp: 是格點，所以算了。 05/02 20:21
15F：噓 Schwinger: 整篇完全鬼扯完全不知從何debug起 05/02 21:07
※ 編輯: peter308 (182.235.147.55), 05/03/2015 00:40:57
16F：推 jksen: 總覺得你可能有些觀念有誤會，在波動力學，動量空間與位置 05/03 02:19
17F：→ jksen: 空間就是彼此的傅立葉變換，所以就會有必然的不確定性關係 05/03 02:20
18F：→ jksen: 。所以不確定性關係是微觀粒子具有波動性的結果，雖然你要 05/03 02:20
19F：→ jksen: 研究"果"也是可以，但還是研究"因"-也就是粒子有波動性的詮 05/03 02:20
20F：→ jksen: 釋去下手比較不會錯誤歸因。另外其實不太了解你主要要表達 05/03 02:20
21F：→ jksen: 的，如果是要表達隱變數可參考貝爾不等式，還有波動力學即 05/03 02:20
22F：→ jksen: 使只考慮線性系統，仍然有不確定性關係。 05/03 02:20
23F：推 recorriendo: 渾沌的不確定性跟量子uncertainty是兩回事 有些書會 05/03 02:29
24F：→ recorriendo: 特別提 其實也代表了不了解的人的確容易搞混 05/03 02:30
25F：→ lucifiel1618: 我真的不太懂你都修完了量力基礎觀念怎麼還一點都沒 05/03 18:15
26F：→ lucifiel1618: 搞懂 05/03 18:15
27F：推 dimw: 簡單講薛丁格方程式就是線性方程式阿...... 06/05 12:27
28F：→ dimw: 另外機率這個概念本來就沒辦法用更基本的概念去定義他 06/05 12:28