※ 引述《gary85238 (小黃)》之銘言： : 之前不知道是上哪堂課(或是自己做夢?) : 好像聽說過轉動慣量是張量 : 有沒有比較普物的方法可以解釋為什麼慣量是張量@@? 回想一下轉動慣量的定義： 若剛體繞某個軸以角速度ω（向量）旋轉，則可以定義E = Iω^2/2， E為轉動能量，I為轉動慣量 這個定義是任何情況都通用的（只要你能找出這個轉動軸） 但是，如果根據角速度ω1算了一個I1，當情況換成角速度ω2時，又要再算一個I2 若ω1和ω2平行或垂直時還有些定理可用，但是當兩者之間的夾角並非此類特殊關係 則I1和I2之間沒有任何簡單關聯， 換句話說，就是每當換了一個ω，你就得重算一次I 這樣未免也太麻煩 所以我們可以嘗試擴充轉動能量的定義： 假設現在的角速度是ω = (ε, ζ, η)， ε、ζ、η分別是沿x、y、z方向的角速度分量 一個很簡單的想法如下： 我們可以把E改寫為下列通用式： E = (1/2)(Ix．ε^2 + Iy．ζ^2 + Iz．η^2 ) 這樣，只要我們事先算出Ix、Iy、Iz，那就不必每次都重算轉動慣量 只要把角速度取分量再分別相乘就好了 但是這樣的簡單想法有個問題：你怎麼知道這個x、y、z軸要怎麼取？ 真實世界裡顯然沒有個固定好的座標系，所以你得自己設座標 結果就是這個簡單想法定義的E並沒有一般性 這時你或許會想到高中教過的： 不同的座標系，直接用矩陣轉換就行啦 原本在xyz座標定義的ω，想要改成在x'y'z'定義的ω' 我們可以定義ω' = Aω，A為轉置矩陣 那麼這樣的E會變成什麼東西？ 「假定」，我們「假定」，這個E在某些情況下的確是正確的寫法 什麼情況下呢？就是你「正確地」定義出這個xyz軸的時候 當然啦，通常你不會這麼好運的，所以通常你定義出的東西，是x'y'z'軸 於是我們的能量就可以寫成： E = (1/2)(Ix．ε^2 + Iy．ζ^2 + Iz．η^2 ) = (1/2)(ω^T．{I}．ω) => {I}是一個對角化矩陣 = (1/2)(ω^T．A^T．A{I}A^T．Aω) => 插入A^T．A = 1 = (1/2)(ω'^T．{I'}．ω') 簡單的說，經由座標變化，我們從原本的ω和{I}的表達式 轉換成了ω'和{I'}的表達式 但是，原本{I}是對角化的3x3矩陣，三個元素分別是Ix、Iy、Iz 現在轉換為{I'}，就不一定是對角化矩陣啦 所以我們得知，一般定義的轉動慣量{I'}，就是個任意的3x3矩陣，也就是個二秩張量 對於任意的角速度（向量）ω'，轉動能量和角動量為： E = (1/2)(ω'^T．{I'}．ω') L = {I'}．ω' => 可以看出角動量向量和角速度向量方向未必相同 那麼那個一開始假設的對角化矩陣{I}和對應的ω是什麼東西？ 我們可以反過來想：把任意矩陣{I'}對角化成為{I}，這是什麼？ 不就是本徵值問題（eigenproblem）嗎？ 所以這個{I}裡面的Ix、Iy、Iz，就是任意矩陣{I'}的三個本徵值 要計算出這一組{I}所採用的xyz軸，則被稱作principal axis of rotation --

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