※ 引述《gary85238 (小黄)》之铭言： : 之前不知道是上哪堂课(或是自己做梦?) : 好像听说过转动惯量是张量 : 有没有比较普物的方法可以解释为什麽惯量是张量@@? 回想一下转动惯量的定义： 若刚体绕某个轴以角速度ω（向量）旋转，则可以定义E = Iω^2/2， E为转动能量，I为转动惯量 这个定义是任何情况都通用的（只要你能找出这个转动轴） 但是，如果根据角速度ω1算了一个I1，当情况换成角速度ω2时，又要再算一个I2 若ω1和ω2平行或垂直时还有些定理可用，但是当两者之间的夹角并非此类特殊关系 则I1和I2之间没有任何简单关联， 换句话说，就是每当换了一个ω，你就得重算一次I 这样未免也太麻烦 所以我们可以尝试扩充转动能量的定义： 假设现在的角速度是ω = (ε, ζ, η)， ε、ζ、η分别是沿x、y、z方向的角速度分量 一个很简单的想法如下： 我们可以把E改写为下列通用式： E = (1/2)(Ix．ε^2 + Iy．ζ^2 + Iz．η^2 ) 这样，只要我们事先算出Ix、Iy、Iz，那就不必每次都重算转动惯量 只要把角速度取分量再分别相乘就好了 但是这样的简单想法有个问题：你怎麽知道这个x、y、z轴要怎麽取？ 真实世界里显然没有个固定好的座标系，所以你得自己设座标 结果就是这个简单想法定义的E并没有一般性 这时你或许会想到高中教过的： 不同的座标系，直接用矩阵转换就行啦 原本在xyz座标定义的ω，想要改成在x'y'z'定义的ω' 我们可以定义ω' = Aω，A为转置矩阵 那麽这样的E会变成什麽东西？ 「假定」，我们「假定」，这个E在某些情况下的确是正确的写法 什麽情况下呢？就是你「正确地」定义出这个xyz轴的时候 当然啦，通常你不会这麽好运的，所以通常你定义出的东西，是x'y'z'轴 於是我们的能量就可以写成： E = (1/2)(Ix．ε^2 + Iy．ζ^2 + Iz．η^2 ) = (1/2)(ω^T．{I}．ω) => {I}是一个对角化矩阵 = (1/2)(ω^T．A^T．A{I}A^T．Aω) => 插入A^T．A = 1 = (1/2)(ω'^T．{I'}．ω') 简单的说，经由座标变化，我们从原本的ω和{I}的表达式 转换成了ω'和{I'}的表达式 但是，原本{I}是对角化的3x3矩阵，三个元素分别是Ix、Iy、Iz 现在转换为{I'}，就不一定是对角化矩阵啦 所以我们得知，一般定义的转动惯量{I'}，就是个任意的3x3矩阵，也就是个二秩张量 对於任意的角速度（向量）ω'，转动能量和角动量为： E = (1/2)(ω'^T．{I'}．ω') L = {I'}．ω' => 可以看出角动量向量和角速度向量方向未必相同 那麽那个一开始假设的对角化矩阵{I}和对应的ω是什麽东西？ 我们可以反过来想：把任意矩阵{I'}对角化成为{I}，这是什麽？ 不就是本徵值问题（eigenproblem）吗？ 所以这个{I}里面的Ix、Iy、Iz，就是任意矩阵{I'}的三个本徵值 要计算出这一组{I}所采用的xyz轴，则被称作principal axis of rotation --

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