作者pei1203 (強迫症)
看板Physics
標題[問題] analytic continuation
時間Fri Nov 25 02:01:24 2011
這題是 Fetter 書上的習題。
假設 f(z) 定義為 rho(x) * (z-x)^(-1) 從負無窮到正無窮的積分，其中
rho(x)=gamma * ( gamma^2+x^2 )^(-1)，試求 f(z) 當 Im(z)>0 並找出f(z)
在 Im(z)<0 的 analytic continuation。
我首先假設 gamma 為正實數然後用留數定理得到 f(z)=pi * (z+i*gamma)^(-1)
接下來我就不清楚要怎麼找 analytic continuation了。
另外一個問題是當我假設gamma為純虛數的時候，我發現 f(z)是不一樣的形式，
這點也很令我困惑。
在這邊請教大家這兩個問題，謝謝。
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◆ From: 75.72.163.176
1F：→ chungweitw:沒看過書..但是這就是 analytic continuation了吧 11/25 02:03
2F：→ chungweitw:加個 i delta 就行了 11/25 02:05
3F：→ chungweitw:別把 singularity 包到 11/25 02:05
4F：→ chungweitw:要看到完整題目才知道到底要問甚麼. 11/25 02:11
5F：→ chungweitw:一般是用在 Matsubara fre. analytically conti...到 11/25 02:12
6F：→ chungweitw:複數平面 11/25 02:12
8F：→ pei1203:題目在page 117，謝謝。 11/25 02:24
9F：推 chungweitw:看了一下..(b) 算完之後 就是答案了..AC 之後一樣 11/25 02:58
10F：→ chungweitw:然後 (c) 算完, 和 (b) AC 之後不同. 告訴你 (b) 不能 11/25 02:59
11F：→ chungweitw:AC到 Im(z)<0 11/25 02:59
12F：→ chungweitw:理由就是 (a) 說的有 branch cut 11/25 02:59
13F：→ chungweitw:gamma為純虛數時, pole 在 實數軸, rho 積分不收斂 11/25 03:05
14F：→ pei1203:謝謝，我想我觀念還不是很清楚。b算出來之後是個除了在 11/25 03:35
15F：→ pei1203:-i*gamma這點不解析外的解析函數。這樣的話，我們還可以稱 11/25 03:36
16F：→ pei1203:它為analytic continuation 嗎? 11/25 03:36
17F：→ chungweitw:可以啊. 因為你是假設 Im z > 0 去算的. 11/25 03:39
18F：→ chungweitw: 然得到的結果在複數空間 ( 除了 -i gamma ) 都解析 11/25 03:39
19F：→ chungweitw: 所以就把他從 Imz>0 的平面 AC到整個複數空間 11/25 03:40
20F：→ chungweitw:就像 1+ x +x^2 + .......只在 |x| < 1 解析. 11/25 03:43
21F：→ chungweitw: 但是sum完之後 1 / (1-x) 在整個複數空間成立 ( 除了 11/25 03:43
22F：→ chungweitw: x = 1). 所以稱 1/(1-x) 是此級數的AC 11/25 03:43
23F：→ chungweitw:但是實際上, 此級數本身只在 |x|<1 解析. 11/25 03:46
24F：→ chungweitw: 此題類似. (b)的答案只能在 Im z>0 使用. 而不能AC到 11/25 03:46
25F：→ chungweitw:整個複空間 11/25 03:46
26F：→ pei1203:謝謝你:) 11/25 11:56