作者pei1203 (强迫症)
看板Physics
标题[问题] analytic continuation
时间Fri Nov 25 02:01:24 2011
这题是 Fetter 书上的习题。
假设 f(z) 定义为 rho(x) * (z-x)^(-1) 从负无穷到正无穷的积分，其中
rho(x)=gamma * ( gamma^2+x^2 )^(-1)，试求 f(z) 当 Im(z)>0 并找出f(z)
在 Im(z)<0 的 analytic continuation。
我首先假设 gamma 为正实数然後用留数定理得到 f(z)=pi * (z+i*gamma)^(-1)
接下来我就不清楚要怎麽找 analytic continuation了。
另外一个问题是当我假设gamma为纯虚数的时候，我发现 f(z)是不一样的形式，
这点也很令我困惑。
在这边请教大家这两个问题，谢谢。
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◆ From: 75.72.163.176
1F：→ chungweitw:没看过书..但是这就是 analytic continuation了吧 11/25 02:03
2F：→ chungweitw:加个 i delta 就行了 11/25 02:05
3F：→ chungweitw:别把 singularity 包到 11/25 02:05
4F：→ chungweitw:要看到完整题目才知道到底要问甚麽. 11/25 02:11
5F：→ chungweitw:一般是用在 Matsubara fre. analytically conti...到 11/25 02:12
6F：→ chungweitw:复数平面 11/25 02:12
8F：→ pei1203:题目在page 117，谢谢。 11/25 02:24
9F：推 chungweitw:看了一下..(b) 算完之後 就是答案了..AC 之後一样 11/25 02:58
10F：→ chungweitw:然後 (c) 算完, 和 (b) AC 之後不同. 告诉你 (b) 不能 11/25 02:59
11F：→ chungweitw:AC到 Im(z)<0 11/25 02:59
12F：→ chungweitw:理由就是 (a) 说的有 branch cut 11/25 02:59
13F：→ chungweitw:gamma为纯虚数时, pole 在 实数轴, rho 积分不收敛 11/25 03:05
14F：→ pei1203:谢谢，我想我观念还不是很清楚。b算出来之後是个除了在 11/25 03:35
15F：→ pei1203:-i*gamma这点不解析外的解析函数。这样的话，我们还可以称 11/25 03:36
16F：→ pei1203:它为analytic continuation 吗? 11/25 03:36
17F：→ chungweitw:可以啊. 因为你是假设 Im z > 0 去算的. 11/25 03:39
18F：→ chungweitw: 然得到的结果在复数空间 ( 除了 -i gamma ) 都解析 11/25 03:39
19F：→ chungweitw: 所以就把他从 Imz>0 的平面 AC到整个复数空间 11/25 03:40
20F：→ chungweitw:就像 1+ x +x^2 + .......只在 |x| < 1 解析. 11/25 03:43
21F：→ chungweitw: 但是sum完之後 1 / (1-x) 在整个复数空间成立 ( 除了 11/25 03:43
22F：→ chungweitw: x = 1). 所以称 1/(1-x) 是此级数的AC 11/25 03:43
23F：→ chungweitw:但是实际上, 此级数本身只在 |x|<1 解析. 11/25 03:46
24F：→ chungweitw: 此题类似. (b)的答案只能在 Im z>0 使用. 而不能AC到 11/25 03:46
25F：→ chungweitw:整个复空间 11/25 03:46
26F：→ pei1203:谢谢你:) 11/25 11:56