作者GroundWalker (無能之鍊金術師)
看板Physics
標題Re: [題目] 為什麼波函數要是連續的?
時間Sat Oct 1 20:08:45 2011
※ 引述《wubohan (華仔)》之銘言：
: ※ 引述《louis925 (稚空)》之銘言：
: : 最近在思考一個很基本的問題，感覺當初沒學好，書上也暫時找不到答案
: : 為什麼在量子力學裡，波函數一定要是連續的呢?
: : 假如位能是有限的情況下，可以理解至少要是連續的才能有一次和二次微分
: : 也才可以得出有限的動量，並且成為薛丁格方程式的解
: : 但是在位能有區域是無限的情況下，像是V=Delta function(x)的狀況下
: : x=0 的一次微分本身就已不要求連續了，且該點的一次微分也不存在
: : 那有什麼理由要求波函數本身要連續呢?
: : 還是說這應該算是量子力學的公設呢?
: 在量子力學中,動量,動能...等古典的量都變成operator,也就是運算子
: 而其中"動能"是h^2/2m*(d^2/dx^2),仔細看一下,如果波函數本身不連續
: 一次微分也不連續的話,那該波函數在該位置啟不是不存在所謂的"動能"?
: 這和一般的觀念不符合,一個有動能得粒子打入一個位能井中,沒道理動能不見了!
: 為了符合這條件!至少要確定波函數是"一次可微分".
: 至於為什麼不是二次微分,三次微分...都連續呢?因為有可能有些區域有位能的關係
: 動能不見得要相同,意思就是...二次,三次...微分連續是不必要的!
: 但是一次和零次微分是必要的.不然動能就不存在了.
波函數本身的連續:確保一次微分存在，否則動量會無限大，這是不符合現實的
波函數一次微分的連續:這一點，你可以去看Gasiorowicz的quantum physics
的第67頁，他有寫出一次微分"在位能有限的狀況下"會連續的理由，這主要是因為二次微
分是動能，而位能有限，所以一次微分會連續。如果是delta function form的位能，那就
不會連續了
同樣的，在傳統的波動方程式，譬如描述繩波，如果波函數本身不連續，那麼就代表
繩子本身不連續，自然不合理；如果一次微分不連續，那會導致二次微分無限大
那這就變成繩子在哪點有無限大的加速度，自然也是不符合現實的。這部分你可以
參考Thorton & Marion那本古典力學第532頁。
相對來說，如果是電磁波，那就不一定了，要看兩個介質，以及表面的性質決定。
這你可以參考Griffiths這本書的9.3節。
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◆ From: 140.116.138.50
1F：推 pp2009:波函數連續是基本要求, 否則無法用微分方程描述 10/01 21:42
2F：→ pp2009:一階導數是否連續,那是由薛丁格方程的具體形式(位能)所決定 10/01 21:44
3F：→ pp2009:跨位能邊界對薛丁格方程做線積分,取極限,就可導出邊 B.C. 10/01 21:48
4F：→ pp2009:跟那個由Maxwell方程在邊界做盒子體積分得B.C.的原理一樣 10/01 21:50
5F：推 kkarthur:波函數可以看做一個狀態在位置空間的投影 10/02 02:48
6F：→ kkarthur:而把空間位置看成是連續的是很合理的 10/02 02:49
7F：→ louis925:我知道正常情況下一次微分和本身都要連續，我想問說delta 10/02 04:40
8F：→ louis925:function或無限未能井的牆壁面上，為何要連續? 10/02 04:40
9F：推 kichigop:一個很直觀的看法:波函數不連續還可以看成"一個波"嗎? 10/02 14:07
10F：→ GroundWalker:這些想法我要再思考一下... 10/03 15:27
11F：推 sputtering:一階導數的存在本來就只是極限逼近 我們的連續跟導數 10/04 00:47
12F：→ sputtering:定義根本是兩回事 如果兩邊極限存在 一百段也是可微的 10/04 00:51
13F：→ sputtering:從傅立葉的定義去想 可以用傅立葉級數去趨近任意的函數 10/04 00:59
14F：→ sputtering:但在求不連續函數的傅立葉我們是怎麼做的 10/04 01:02