作者GroundWalker (无能之链金术师)
看板Physics
标题Re: [题目] 为什麽波函数要是连续的?
时间Sat Oct 1 20:08:45 2011
※ 引述《wubohan (华仔)》之铭言：
: ※ 引述《louis925 (稚空)》之铭言：
: : 最近在思考一个很基本的问题，感觉当初没学好，书上也暂时找不到答案
: : 为什麽在量子力学里，波函数一定要是连续的呢?
: : 假如位能是有限的情况下，可以理解至少要是连续的才能有一次和二次微分
: : 也才可以得出有限的动量，并且成为薛丁格方程式的解
: : 但是在位能有区域是无限的情况下，像是V=Delta function(x)的状况下
: : x=0 的一次微分本身就已不要求连续了，且该点的一次微分也不存在
: : 那有什麽理由要求波函数本身要连续呢?
: : 还是说这应该算是量子力学的公设呢?
: 在量子力学中,动量,动能...等古典的量都变成operator,也就是运算子
: 而其中"动能"是h^2/2m*(d^2/dx^2),仔细看一下,如果波函数本身不连续
: 一次微分也不连续的话,那该波函数在该位置启不是不存在所谓的"动能"?
: 这和一般的观念不符合,一个有动能得粒子打入一个位能井中,没道理动能不见了!
: 为了符合这条件!至少要确定波函数是"一次可微分".
: 至於为什麽不是二次微分,三次微分...都连续呢?因为有可能有些区域有位能的关系
: 动能不见得要相同,意思就是...二次,三次...微分连续是不必要的!
: 但是一次和零次微分是必要的.不然动能就不存在了.
波函数本身的连续:确保一次微分存在，否则动量会无限大，这是不符合现实的
波函数一次微分的连续:这一点，你可以去看Gasiorowicz的quantum physics
的第67页，他有写出一次微分"在位能有限的状况下"会连续的理由，这主要是因为二次微
分是动能，而位能有限，所以一次微分会连续。如果是delta function form的位能，那就
不会连续了
同样的，在传统的波动方程式，譬如描述绳波，如果波函数本身不连续，那麽就代表
绳子本身不连续，自然不合理；如果一次微分不连续，那会导致二次微分无限大
那这就变成绳子在哪点有无限大的加速度，自然也是不符合现实的。这部分你可以
参考Thorton & Marion那本古典力学第532页。
相对来说，如果是电磁波，那就不一定了，要看两个介质，以及表面的性质决定。
这你可以参考Griffiths这本书的9.3节。
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◆ From: 140.116.138.50
1F：推 pp2009:波函数连续是基本要求, 否则无法用微分方程描述 10/01 21:42
2F：→ pp2009:一阶导数是否连续,那是由薛丁格方程的具体形式(位能)所决定 10/01 21:44
3F：→ pp2009:跨位能边界对薛丁格方程做线积分,取极限,就可导出边 B.C. 10/01 21:48
4F：→ pp2009:跟那个由Maxwell方程在边界做盒子体积分得B.C.的原理一样 10/01 21:50
5F：推 kkarthur:波函数可以看做一个状态在位置空间的投影 10/02 02:48
6F：→ kkarthur:而把空间位置看成是连续的是很合理的 10/02 02:49
7F：→ louis925:我知道正常情况下一次微分和本身都要连续，我想问说delta 10/02 04:40
8F：→ louis925:function或无限未能井的墙壁面上，为何要连续? 10/02 04:40
9F：推 kichigop:一个很直观的看法:波函数不连续还可以看成"一个波"吗? 10/02 14:07
10F：→ GroundWalker:这些想法我要再思考一下... 10/03 15:27
11F：推 sputtering:一阶导数的存在本来就只是极限逼近 我们的连续跟导数 10/04 00:47
12F：→ sputtering:定义根本是两回事 如果两边极限存在 一百段也是可微的 10/04 00:51
13F：→ sputtering:从傅立叶的定义去想 可以用傅立叶级数去趋近任意的函数 10/04 00:59
14F：→ sputtering:但在求不连续函数的傅立叶我们是怎麽做的 10/04 01:02