※ 引述《monhui (飛呀～飛啊～)》之銘言： : 有一壓力容器體積為V，內有壓縮空氣壓力為P1，外界壓力為P2 (P1>P2) : 在此壓力容器上開一圓孔面積為A，請問需要多少時間可讓此容器之壓力達到P2？ : 工作中遇到類似的問題，google了老半天也找不到答案，請問有人知道該怎麼算嗎？ 1作者: xgcj (xgcj) 看板: Physics 標題: Re: [題目] 2001 奧賽初選 氣體動力論 時間: Sat Nov 27 01:46:24 2010 對於剛剛的文章有板有提出了問 我就這些疑問做個解答 現在 我們先考慮一個封閉容器上有一個薄開口 你可以想像是一張紙 然後面被剪開了一個小面積 然後這個密閉容器裡面是一個已經達平衡的氣體系統 我們現在就來計算我剛剛講的所謂的"流"要怎樣計算 我先大概說一下結果 結果其實很簡單 但是過程有點複雜 在正式的計算前 我們先複習一下所謂的電流密度的概念 後藉由電流密度的概念來推導 我們這裡所謂"粒子流" 的結果 --------------------------------------------------- 電流密度是一種向量 它對面積積分出來的結果是電流 也就是它是真正在空間中表示某種東西流動的一個物理量 而電流本身則是代表兩區間之間某種量的時變率 並不是 一種空間分布 → → j =ρ v 電流密度相當於電荷密度乘上該電荷位置的速度向量 → 在所有v 均同方向的時候 你可以用很簡單的方式去計算電流大小 ^ 例如:一塊長方體 電流密度方向向 x 軸 截面積為 A 這個時候他的電流就是jA 但是如果你要計算在y軸方向的電流的話 那就是0 因為 j 跟 y 方向的向量內積後為0 所以我們在計算粒子流的時候要考慮到各個方向的機率 ------------------------------------------------------ 現在我們就先引進Maxell的分布 2 m 3/2 -mv f(v)=(-------) Exp[-------] 2πkT 2 kT 在某個速度空間的某個點的機率 2 m 3/2 -mv f(v)dv dv dv =(-------) Exp[-------]dv dv dv x y z 2πkT 2 kT x y z 那我們現在開始計算在空間中擁有著個速度對我們的"流的貢獻" ^ ↑z ↑ ↖ ↗ ↖ ↗ ← → -------------- ^ --------------- Az ^ → ^ → 我們的流dI= A z dj =A z ˙ρv f(v)dv dv dv x y z =Aρv cos(θ)f(v)dv dv dv x y z I=∫Aρv cos(θ)f(v)dv dv dv x y z ∞ π/2 2π 2 =Aρ∫ dv∫dθsin(θ)∫dφ v cos(θ)f(v)v 0 0 0 ∞ π/2 2π 3 =Aρ∫ dv∫dθ∫dφ v cos(θ)f(v) 0 0 0 ∞ 1 3 =Aρ∫ dv∫d(cos(θ))cos(θ)2πv f(v) 0 0 1 ∞ 3 =2πAρ---∫ dv v f(v) 2 0 ∞ 3 =πAρ∫ dv v f(v) 0 2 ∞ 3 m 3/2 -mv =πAρ∫ dv v (-------) Exp[-------] 0 2πkT 2 kT 2 k T 1/2 -3/2 ∞ 3 2 =πAρ(-------) π ∫ dy y Exp[-y ] m 0 2 k T ∞ 3 2 2 =Aρ(-------)∫ dy y Exp[-y ] (let y =x,2ydy=dx ) mπ 0 3 1 y dy=---xdx 2 2 k T 1/2 ∞ 1 =Aρ(-------) ∫ dx ---x Exp[-x ] mπ 0 2 k T 1/2 8 k T1/2 _ =Aρ(-------) (我們知道(-------) =V [平均速率] ) 2 mπ mπ 1 _ =---AρV 4 最後的結果剛好是 面積*(密度)*(1/4)(平均速率) 1/2 這樣大概可以清楚交代了 結果還是跟(T )成正比 所以之前用來代替的方式是合理的 PS:這個結果也可以適用到光上面不過還有待計算(以前算過應該是一樣) -- 所以現在你知道 這個流的大小 現在 我將題目稍微修改一下 我們外面的氣壓 一直都是P2 裡面初始氣壓叫做P1好了 然後令裡面氣壓叫做P 也就是說 P(0)=P1 然後利用來計算流的差 _ _ I=(1/4)A[ρ1V1-ρ2V2] PV=nRT _ V=√(8kT/mπ) 你接這些東西帶下去之後 應該可以得到微分方程 不過你題目其實不完整 所以沒辦法幫你算 不過 答案的形式應該會是像 P=P1(Exp[-t/T])的樣子 -- --

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