※ 引述《monhui (飞呀～飞啊～)》之铭言： : 有一压力容器体积为V，内有压缩空气压力为P1，外界压力为P2 (P1>P2) : 在此压力容器上开一圆孔面积为A，请问需要多少时间可让此容器之压力达到P2？ : 工作中遇到类似的问题，google了老半天也找不到答案，请问有人知道该怎麽算吗？ 1作者: xgcj (xgcj) 看板: Physics 标题: Re: [题目] 2001 奥赛初选 气体动力论 时间: Sat Nov 27 01:46:24 2010 对於刚刚的文章有板有提出了问 我就这些疑问做个解答 现在 我们先考虑一个封闭容器上有一个薄开口 你可以想像是一张纸 然後面被剪开了一个小面积 然後这个密闭容器里面是一个已经达平衡的气体系统 我们现在就来计算我刚刚讲的所谓的"流"要怎样计算 我先大概说一下结果 结果其实很简单 但是过程有点复杂 在正式的计算前 我们先复习一下所谓的电流密度的概念 後藉由电流密度的概念来推导 我们这里所谓"粒子流" 的结果 --------------------------------------------------- 电流密度是一种向量 它对面积积分出来的结果是电流 也就是它是真正在空间中表示某种东西流动的一个物理量 而电流本身则是代表两区间之间某种量的时变率 并不是 一种空间分布 → → j =ρ v 电流密度相当於电荷密度乘上该电荷位置的速度向量 → 在所有v 均同方向的时候 你可以用很简单的方式去计算电流大小 ^ 例如:一块长方体 电流密度方向向 x 轴 截面积为 A 这个时候他的电流就是jA 但是如果你要计算在y轴方向的电流的话 那就是0 因为 j 跟 y 方向的向量内积後为0 所以我们在计算粒子流的时候要考虑到各个方向的机率 ------------------------------------------------------ 现在我们就先引进Maxell的分布 2 m 3/2 -mv f(v)=(-------) Exp[-------] 2πkT 2 kT 在某个速度空间的某个点的机率 2 m 3/2 -mv f(v)dv dv dv =(-------) Exp[-------]dv dv dv x y z 2πkT 2 kT x y z 那我们现在开始计算在空间中拥有着个速度对我们的"流的贡献" ^ ↑z ↑ ↖ ↗ ↖ ↗ ← → -------------- ^ --------------- Az ^ → ^ → 我们的流dI= A z dj =A z ˙ρv f(v)dv dv dv x y z =Aρv cos(θ)f(v)dv dv dv x y z I=∫Aρv cos(θ)f(v)dv dv dv x y z ∞ π/2 2π 2 =Aρ∫ dv∫dθsin(θ)∫dφ v cos(θ)f(v)v 0 0 0 ∞ π/2 2π 3 =Aρ∫ dv∫dθ∫dφ v cos(θ)f(v) 0 0 0 ∞ 1 3 =Aρ∫ dv∫d(cos(θ))cos(θ)2πv f(v) 0 0 1 ∞ 3 =2πAρ---∫ dv v f(v) 2 0 ∞ 3 =πAρ∫ dv v f(v) 0 2 ∞ 3 m 3/2 -mv =πAρ∫ dv v (-------) Exp[-------] 0 2πkT 2 kT 2 k T 1/2 -3/2 ∞ 3 2 =πAρ(-------) π ∫ dy y Exp[-y ] m 0 2 k T ∞ 3 2 2 =Aρ(-------)∫ dy y Exp[-y ] (let y =x,2ydy=dx ) mπ 0 3 1 y dy=---xdx 2 2 k T 1/2 ∞ 1 =Aρ(-------) ∫ dx ---x Exp[-x ] mπ 0 2 k T 1/2 8 k T1/2 _ =Aρ(-------) (我们知道(-------) =V [平均速率] ) 2 mπ mπ 1 _ =---AρV 4 最後的结果刚好是 面积*(密度)*(1/4)(平均速率) 1/2 这样大概可以清楚交代了 结果还是跟(T )成正比 所以之前用来代替的方式是合理的 PS:这个结果也可以适用到光上面不过还有待计算(以前算过应该是一样) -- 所以现在你知道 这个流的大小 现在 我将题目稍微修改一下 我们外面的气压 一直都是P2 里面初始气压叫做P1好了 然後令里面气压叫做P 也就是说 P(0)=P1 然後利用来计算流的差 _ _ I=(1/4)A[ρ1V1-ρ2V2] PV=nRT _ V=√(8kT/mπ) 你接这些东西带下去之後 应该可以得到微分方程 不过你题目其实不完整 所以没办法帮你算 不过 答案的形式应该会是像 P=P1(Exp[-t/T])的样子 -- --

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