那就開始吧，以下參照費曼物理學講義第二冊第三章（吧），從定義直接來： 1. Laplacian = 對某純量場先做梯度再做散度 我知道靜磁學裡就有個向量位的Laplacian的公式 不過課本也說了那個只有在直角座標下才能用，本質上還是對向量場的純量分量作用 總之，根據這個定義，只要分別知道極座標的散度和梯度的形式 再疊合起來，就能輕易地得到Laplacian 2. 所以先由純量場在空間中的變化量導出梯度： 極座標下，小量向量線段單元是表示成： dl = (dr, rdθ, rsinθdφ) 上式的三個方向當然是r,θ,φ方向 所以純量場f在空間中的變化量，就是f沿著這三個小量的變化量： （以下以P表示偏微分partial之意） P f P f P f df = -----.dr + -----.dθ + -----.dφ P r Pθ Pφ P f P f P f = -----.dr + --------.rdθ + -----------.rsinθdφ P r r Pθ rsinθPφ = (Pf/Pr, (1/r)(Pf/Pθ), (1/rsinθ)(Pf/Pφ) )．(dr, rdθ, rsinθdφ) = grad(f)．dl 所以grad(f) = (Pf/Pr, (1/r)(Pf/Pθ), (1/rsinθ)(Pf/Pφ) ) 事實上這個公式很簡單，所以應該很多人早就背起來了 3. 接著來導散度： 散度的定義，就是一個向量場，於空間中一點的向外發散量 直觀起見，先求一小量空間的發散量，則此發散量必定等於梯度乘以該小量空間 極座標下，小量空間為： dr．rdθ．rsinθdφ = (r^2)sinθdrdθdφ 此小量空間有六個面，分三組，分別為： (1)法向量±r方向 ： rdθ．rsinθdφ = (r^2)sinθdθdφ (2)法向量±θ方向： dr．rsinθdφ = rsinθdrdφ (3)法向量±φ方向： dr．rdθ = rdrdθ 所以，某向量（A_r , A_θ , A_φ），沿著這三個方向的發散量分別為： ±F_r = ±(A_r)(r^2)sinθdθdφ , ±r 方向 ±F_θ = ±(A_θ)rsinθdrdφ , ±θ方向 ±F_φ = ±(A_φ)rdrdθ , ±φ方向 但是，以±r方向方向為例，兩個平面之間又有dr的差別，因此發散量又有變化 所以，整個小量空間的總發散量為： (-F_r) + (F_r + d(F_r )) + (-F_θ)+ (F_θ+ d(F_θ)) + (-F_φ)+ (F_φ+ d(F_φ)) = d(F_r ) + d(F_θ) + d(F_φ) P((A_r)(r^2)) P((A_θ)sinθ) P(A_φ) = sinθdθdφ---------------dr + rdrdφ---------------- + rdrdθ--------- Pr Pθ Pφ 1 P((A_r)(r^2)) 1 P((A_θ)sinθ) 1 P(A_φ) = {----.--------------- + ------.---------------- + ------.---------}．dτ r^2 Pr rsinθ Pθ rsinθ Pφ = div(A)．dτ 礙於空間，dτ = (r^2)sinθdrdθdφ即為小量空間 所以div(A) 1 P((A_r)(r^2)) 1 P((A_θ)sinθ) 1 P(A_φ) = ----.--------------- + ------.---------------- + ------.--------- r^2 Pr rsinθ Pθ rsinθ Pφ 一般人要記起來有困難的應該是這個公式 不過依照上述步驟就可以非常簡單地要用時再推導就行了 4.既然極座標下的梯度和散度公式都有了，那麼Laplacian就很簡單啦 只要把梯度的三個分量丟入散度公式中的向量三分量，就能合併兩者得到Laplacian了 --

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