那就开始吧，以下参照费曼物理学讲义第二册第三章（吧），从定义直接来： 1. Laplacian = 对某纯量场先做梯度再做散度 我知道静磁学里就有个向量位的Laplacian的公式 不过课本也说了那个只有在直角座标下才能用，本质上还是对向量场的纯量分量作用 总之，根据这个定义，只要分别知道极座标的散度和梯度的形式 再叠合起来，就能轻易地得到Laplacian 2. 所以先由纯量场在空间中的变化量导出梯度： 极座标下，小量向量线段单元是表示成： dl = (dr, rdθ, rsinθdφ) 上式的三个方向当然是r,θ,φ方向 所以纯量场f在空间中的变化量，就是f沿着这三个小量的变化量： （以下以P表示偏微分partial之意） P f P f P f df = -----.dr + -----.dθ + -----.dφ P r Pθ Pφ P f P f P f = -----.dr + --------.rdθ + -----------.rsinθdφ P r r Pθ rsinθPφ = (Pf/Pr, (1/r)(Pf/Pθ), (1/rsinθ)(Pf/Pφ) )．(dr, rdθ, rsinθdφ) = grad(f)．dl 所以grad(f) = (Pf/Pr, (1/r)(Pf/Pθ), (1/rsinθ)(Pf/Pφ) ) 事实上这个公式很简单，所以应该很多人早就背起来了 3. 接着来导散度： 散度的定义，就是一个向量场，於空间中一点的向外发散量 直观起见，先求一小量空间的发散量，则此发散量必定等於梯度乘以该小量空间 极座标下，小量空间为： dr．rdθ．rsinθdφ = (r^2)sinθdrdθdφ 此小量空间有六个面，分三组，分别为： (1)法向量±r方向 ： rdθ．rsinθdφ = (r^2)sinθdθdφ (2)法向量±θ方向： dr．rsinθdφ = rsinθdrdφ (3)法向量±φ方向： dr．rdθ = rdrdθ 所以，某向量（A_r , A_θ , A_φ），沿着这三个方向的发散量分别为： ±F_r = ±(A_r)(r^2)sinθdθdφ , ±r 方向 ±F_θ = ±(A_θ)rsinθdrdφ , ±θ方向 ±F_φ = ±(A_φ)rdrdθ , ±φ方向 但是，以±r方向方向为例，两个平面之间又有dr的差别，因此发散量又有变化 所以，整个小量空间的总发散量为： (-F_r) + (F_r + d(F_r )) + (-F_θ)+ (F_θ+ d(F_θ)) + (-F_φ)+ (F_φ+ d(F_φ)) = d(F_r ) + d(F_θ) + d(F_φ) P((A_r)(r^2)) P((A_θ)sinθ) P(A_φ) = sinθdθdφ---------------dr + rdrdφ---------------- + rdrdθ--------- Pr Pθ Pφ 1 P((A_r)(r^2)) 1 P((A_θ)sinθ) 1 P(A_φ) = {----.--------------- + ------.---------------- + ------.---------}．dτ r^2 Pr rsinθ Pθ rsinθ Pφ = div(A)．dτ 碍於空间，dτ = (r^2)sinθdrdθdφ即为小量空间 所以div(A) 1 P((A_r)(r^2)) 1 P((A_θ)sinθ) 1 P(A_φ) = ----.--------------- + ------.---------------- + ------.--------- r^2 Pr rsinθ Pθ rsinθ Pφ 一般人要记起来有困难的应该是这个公式 不过依照上述步骤就可以非常简单地要用时再推导就行了 4.既然极座标下的梯度和散度公式都有了，那麽Laplacian就很简单啦 只要把梯度的三个分量丢入散度公式中的向量三分量，就能合并两者得到Laplacian了 --

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