來找個例子算算雙生子題目好了 首先我把題目簡化一下 我們有雙胞胎兄弟兩人 哥哥和弟弟 首先弟弟留在地球上 哥哥比較喜歡冒險 所以他搭乘一艘性能優異的太空船出去外太空旅行 這個時候 我們太空旅行的過程分為 加速階段=>等速階段=>減速階段=== ╗ ↓ 減速階段<=等速階段<=加速階段=== ╝ 為了不使家裡孤單的嫂嫂擔心 所以這趟旅程是一趟很快的旅程 過一下子就回來了 然後這是個假想的實驗 所以跟實際上就不要太計較了 出發那一刻 兄弟倆拿著相同的錶對時 然後哥哥從靜止出發! 0 L1 L2 L1 地球 加速階段 速度=C/2 等速階段 速度=C/2 減速階段 速度=0 (去程) =============== =============================== =============== 目的地 地球 減速階段 速度=C/2 等速階段 速度=C/2 加速階段 速度=0 (回程) 我做這個題目時將完全用狹義相對論來做 並且使用 首先 為了簡化題目 我們加速階段都用等加速度來做 而且我們加減速階段都使用L1作為長度 在等速階段 我們用 L2作為長度 令L1=30s*c (秒乘上光速) L2=1000s*c 先計算加速度是多少 2 2 1 2 1 (a*t0) (c/2) L1=---- a (t0) =---* ------=------- 2 2 a 2 a => 2 (c/2) a= -------=(c^2)/(240sc)=c/(240s) 2*L1 -------------------------------------------------------------------------------- 並令 θ1=arcsin(v/c)=arcsin(1/2)=π/6 (等等會用到) -------------------------------------------------------------------------------- 現在要先處理弟弟座標系的部分 這個地方用等加速度公式就可以了 令加速度階段所花時間為t0 等速階段所花時間為t1 因為加速等共有4段 等速共有2段 又相同的階段間彼此是對稱的 所以結果最後在相加 2 2 L1=(0.5)a(to) 所以=>30sc=0.5*(c/240s)(t0) =>t0=120s L2=V*t1=>1000sc=(0.5c)t1 =>t1=2000s 弟弟等哥哥回來所花的時間為 4t0+2t1=4480s -------------------------------------------------------------------------------- ps補上公式:[以便最後做比較] 4t0+2t1=4(V/a)+2(L2/V)=4(c/a)sinθ1+2(L2/V) -------------------------------------------------------------------------------- 現在要處理哥哥的部分 這個部分要用到一個觀念 那就是所謂"原時"的概念 哥哥本身相對於自己是靜止的 所以他的時間和弟弟過的時間就不一樣 我這裡用t'來當哥哥本身時間的代號 dt'=√(1-(v^2/c^2))dt 我們先用這個公式來計算加速階段所花的時間 先考慮第一加速階段 v=at 所以 dt'=√(1-(v^2/c^2))dt=√(1-(at/c)^2)dt 那第一階段所花的原時為 t0 t'0=∫√(1-(at/c)^2)dt 0 做個變數變換 let (at/c)=sinθ (a/c)dt=cosθdθ 0->0 t0->θ1=π/6 所以積分式變為 θ1 2 ∫ √(1-sinθ)(c/a)cosθdθ (0<(v/c)<1) 0 θ1 2 =>∫ (c/a) cosθ dθ 0 θ1 =∫ (c/a)(1/2)(1+cos(2θ))dθ 0 =(1/2)(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ)] ------------------------------------------------------- 再來是等速度階段所花的時間 2 dt'=√(1-(v^2/c^2))dt=√(1-sinθ1)dt=cosθ1dt t'1=cosθ1*t1=cosθ1*(L2/V) 總共花的時間是 4t'0+2t'1=2(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ)]+2cosθ1*(L2/V) ------------------------------------------------------- 2(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ)]+2cosθ1*(L2/V) =2(c/(c/240s))[π/6+(0.5)sin(π/3)]+2cos(π/6)*(1000cs/(c/2)) =480s[0.9566]+4000*cos(π/6) =3923.27s ------------------------------------------------------ 弟弟經過的時間是4480s哥哥經過的時間是3923.27s 可見弟弟已經比哥哥還要老了XD ------------------------------------------------------ 最後對兩個結果做個比較 這是弟弟的 4(c/a)sinθ1+2(L2/V) 這是哥哥的 2(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ)]+2cosθ1*(L2/V) [2] ----------------------------------------------------- 在(0,π/2)區間裡面 4sinθ-2θ-sin(2θ)>0 [1] 又1>cosθ 所以弟弟經過的時間比哥哥還多 ---------------------------------------------------- 簡單的計算 可以給我們一些啟示 你也可以去調整裡面的參數 最後你可以發現到底 小弟若有錯誤的地方請大家糾正m(_ _)m ---------------------------------------------------- [1] 用mathematica畫的圖y=4sinθ-2θ-sin(2θ) (0,π/2) http://ppt.cc/fa!p [2]補充說明 在加速度極大之下 也就是a>>1 我們可以忽略下面式子的前兩項 4(c/a)sinθ1+2(L2/V) 2(c/a)[θ1+(1/2)sin(2θ1)]+2cosθ1*(L2/V) 於是又回到 2(L2/V) 2cosθ1*(L2/V) 這個結果上 也就是不用考慮到加速度的效應 這個結果化作我們熟悉的形式是 2 2(L2/V) 和 2*√(1-(V/c))(L2/V) 也就是在加速度極大之下我們可以忽略加速度對時間的效應 - 標題 [新聞] 一射精就變盲人！怪病男就醫求援 時間 Tue Nov 30 18:01:17 2010 - --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.113.68.211 修文加補充 ※ 編輯: xgcj 來自: 140.113.68.211 (12/01 03:09)