量子力學裡面最重要的核心概念 莫過於我們的位置和動量之間的對易關係了 ^ ^ [ x , Px ]=i h_bar 現在我們有兩個可觀察量 x和他的共軛量 Px 他們兩個之間會有個i 為什麼要有i呢? (1)為了使兩個算符都是Hermitian operator (2)不確定性原理 ---------------------------------------------------------------------------- (1) ^ 首先我們知道<Ψ|x|Ψ>是一個可觀察量 如果我們現在要建立一個和 ^ x 對易後差個常數的運算子 那我們要怎麼建立呢?? ^ * 這裡我們先假定 x = x 然後|Ψ>=Ψ(x) <Ψ|=Ψ(x) ^ ∞ * 內積<Ψ|O|Ψ>=∫Ψ(x)O(x)Ψ(x)dx -∞ ^ ^ 很明顯的 我們如果要找到 一個Px算符跟不對易不可能直接用 x的多項式去組合出來 那我們又很想要一種算符 他可以作用 在我們的Ψ(x)上面 而又和 x 不對易 很明顯地 只能用微分算符 ^ d 假設Px=c*----- 我們將他和x對易後 作用在Ψ(x)上面 　　 d x d d (x*c*——— -———*c*x)Ψ(x)=-cΨ(x) d x d x 現在我們知道如果要建立一個對易後不為0的算符我們必須要使用 微分算符 在量子力學裡 我們要求每個可觀察量都必須是Hermitian 那我們就來看看要如何選取我們的常數 d 因為Px=c*—— 而他又必須是要Hermitian 所以令 d x ∞ * d * ｜+∞ ∞ d * <Ψ|Px|Ψ>=∫Ψ(x)－－Ψ(x)dx*c=c*Ψ(x)*Ψ(x)｜ -∫c－－Ψ(x)*Ψ(x)dx -∞ d x ｜-∞ -∞ d x ^^^^^^^^^^^^^^^^^ =0 ∞ * d * ∞ * d * =-∫ (c －－Ψ(x)) *Ψ(x)dx=∫ Ψ(x)(-c －－Ψ(x))dx -∞ d x -∞ d x * * 上式必須要等於 <Ψ|Px|Ψ>也就是-c 要等於c 一個數字等於本身的負共軛 那她一定是一個純虛數 所以c=i*(某一個實數) 經過這樣的推導 我們知道 如果要找到一個和x不對易 但同時又要滿足 Hermitian性質的算符 我們只能選擇 一個純虛數*微分算符 的這種形式 ---------------------------------------------------------------------------- (2) 首先 在我們量子力學裡的空間是一個內基空間 所以有科西不等式 * <Ψ|A|A|Ψ><Ψ|B|B|Ψ> >=<Ψ|A|B|Ψ><Ψ|A|B|Ψ> 寫好看一點 * <AΨ|AΨ><BΨ|BΨ> >= <AΨ|BΨ><AΨ|BΨ> =<AΨ|BΨ><BΨ|AΨ> 我們知道兩個互為共軛的複數相乘 一定大於虛部的平方 (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2>=b^2 所以<AΨ|BΨ><BΨ|AΨ> >={(1/(2i))(<AΨ|BΨ>-<BΨ|AΨ>)}^2 AB-BA [A,B] ={|<Ψ|————|Ψ>|}^2={<Ψ|———|Ψ>}^2 2 i 2 i 得到了一個關係 [A,B] <AΨ|AΨ><BΨ|BΨ> >={<Ψ|———|Ψ>}^2 2 i 1 我們可以將他視為<A^2><B^2> >= ——|<[A,B]>|^2 4 統計上所謂的標準差是所有位置和平均位置差的方均根 ΔX=√(<(x-<x>)^2>) (ΔA)^2(ΔB)^2=(<(A-<A>)^2>)(<(B-<B>)^2>) >= (1/4)|<[A-<A>,B-<B>]>|^2 =(1/4)|<[A,B]-[A,<B>]-[<A>,B]+[<A>,<B>]>| <A> <B>是數字所以全部對易掉 =(1/4)|<[A,B]>|^2 ^ ^ d x=x Px=(h_bar/i)--- [x,Px]=i h_bar d x (ΔX)^2(ΔPx)^2 >=(1/4)|<[x,Px]>|^2=[(h_bar)^2]/4 最後可以得到ΔXΔPx >= (h_bar)/2 這條不確定性原理的不等式 在上面的推導中 我們發現了 [x,Px]=i h_bar 這條式子中的 i的含意 除了要保證我們兩共軛力學量要Hermitian外 同時也保證我們的不確定性原理 更重要的事 他還間接暗示了我們 量子力學裡的二項性 ----------------------------------------------------------------------------- 從前面的推導中 我們知道如果要有 互為共軛的物理量 我們一定要引進虛數 後面的推導 則是跟我們暗示不確定性原理和共軛量對易子之間的關係 結論:一定會有虛數 -- --

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