量子力学里面最重要的核心概念 莫过於我们的位置和动量之间的对易关系了 ^ ^ [ x , Px ]=i h_bar 现在我们有两个可观察量 x和他的共轭量 Px 他们两个之间会有个i 为什麽要有i呢? (1)为了使两个算符都是Hermitian operator (2)不确定性原理 ---------------------------------------------------------------------------- (1) ^ 首先我们知道<Ψ|x|Ψ>是一个可观察量 如果我们现在要建立一个和 ^ x 对易後差个常数的运算子 那我们要怎麽建立呢?? ^ * 这里我们先假定 x = x 然後|Ψ>=Ψ(x) <Ψ|=Ψ(x) ^ ∞ * 内积<Ψ|O|Ψ>=∫Ψ(x)O(x)Ψ(x)dx -∞ ^ ^ 很明显的 我们如果要找到 一个Px算符跟不对易不可能直接用 x的多项式去组合出来 那我们又很想要一种算符 他可以作用 在我们的Ψ(x)上面 而又和 x 不对易 很明显地 只能用微分算符 ^ d 假设Px=c*----- 我们将他和x对易後 作用在Ψ(x)上面 　　 d x d d (x*c*——— -———*c*x)Ψ(x)=-cΨ(x) d x d x 现在我们知道如果要建立一个对易後不为0的算符我们必须要使用 微分算符 在量子力学里 我们要求每个可观察量都必须是Hermitian 那我们就来看看要如何选取我们的常数 d 因为Px=c*—— 而他又必须是要Hermitian 所以令 d x ∞ * d * ｜+∞ ∞ d * <Ψ|Px|Ψ>=∫Ψ(x)－－Ψ(x)dx*c=c*Ψ(x)*Ψ(x)｜ -∫c－－Ψ(x)*Ψ(x)dx -∞ d x ｜-∞ -∞ d x ^^^^^^^^^^^^^^^^^ =0 ∞ * d * ∞ * d * =-∫ (c －－Ψ(x)) *Ψ(x)dx=∫ Ψ(x)(-c －－Ψ(x))dx -∞ d x -∞ d x * * 上式必须要等於 <Ψ|Px|Ψ>也就是-c 要等於c 一个数字等於本身的负共轭 那她一定是一个纯虚数 所以c=i*(某一个实数) 经过这样的推导 我们知道 如果要找到一个和x不对易 但同时又要满足 Hermitian性质的算符 我们只能选择 一个纯虚数*微分算符 的这种形式 ---------------------------------------------------------------------------- (2) 首先 在我们量子力学里的空间是一个内基空间 所以有科西不等式 * <Ψ|A|A|Ψ><Ψ|B|B|Ψ> >=<Ψ|A|B|Ψ><Ψ|A|B|Ψ> 写好看一点 * <AΨ|AΨ><BΨ|BΨ> >= <AΨ|BΨ><AΨ|BΨ> =<AΨ|BΨ><BΨ|AΨ> 我们知道两个互为共轭的复数相乘 一定大於虚部的平方 (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2>=b^2 所以<AΨ|BΨ><BΨ|AΨ> >={(1/(2i))(<AΨ|BΨ>-<BΨ|AΨ>)}^2 AB-BA [A,B] ={|<Ψ|————|Ψ>|}^2={<Ψ|———|Ψ>}^2 2 i 2 i 得到了一个关系 [A,B] <AΨ|AΨ><BΨ|BΨ> >={<Ψ|———|Ψ>}^2 2 i 1 我们可以将他视为<A^2><B^2> >= ——|<[A,B]>|^2 4 统计上所谓的标准差是所有位置和平均位置差的方均根 ΔX=√(<(x-<x>)^2>) (ΔA)^2(ΔB)^2=(<(A-<A>)^2>)(<(B-<B>)^2>) >= (1/4)|<[A-<A>,B-<B>]>|^2 =(1/4)|<[A,B]-[A,<B>]-[<A>,B]+[<A>,<B>]>| <A> <B>是数字所以全部对易掉 =(1/4)|<[A,B]>|^2 ^ ^ d x=x Px=(h_bar/i)--- [x,Px]=i h_bar d x (ΔX)^2(ΔPx)^2 >=(1/4)|<[x,Px]>|^2=[(h_bar)^2]/4 最後可以得到ΔXΔPx >= (h_bar)/2 这条不确定性原理的不等式 在上面的推导中 我们发现了 [x,Px]=i h_bar 这条式子中的 i的含意 除了要保证我们两共轭力学量要Hermitian外 同时也保证我们的不确定性原理 更重要的事 他还间接暗示了我们 量子力学里的二项性 ----------------------------------------------------------------------------- 从前面的推导中 我们知道如果要有 互为共轭的物理量 我们一定要引进虚数 後面的推导 则是跟我们暗示不确定性原理和共轭量对易子之间的关系 结论:一定会有虚数 -- --

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