※ 引述《falltasitic (天然呆>"<)》之銘言： : 高中物理所提到萬有引力證明克卜勒定律的方法 : 是假設行星是以圓周運動方式運行 : 但是克卜勒定律不是橢圓軌道嗎 : 高中物理的證明方式應該是有問題的吧 : 麻煩大大可以幫我解惑一下，謝謝 ----------------------------------------- 其實高中一直都沒有證明過橢圓軌道的克卜勒第三定律 我猜你現在問的是第三吧..Hmm 畢竟第一跟第二比較好理解。 以下證明其實不難，以高中生的程度是可以想到的(我高三就想到了) 在看以前，可以考慮要不要先自己想想看 給你個想法 你要搞出週期，而且這與半徑有關，代表週期與橢圓的特性(半徑、面積?)有關 接著，這週期可不是亂來的，它是遵守了某些定律 好比說，克卜勒第二定律、能量守恆、角動量守恆的，這些定律就像是 邊界條件一樣 所以靠這幾個就可以搞出來了~~ 確定要看了嗎? 那就往下吧^^ ----------------------------------------------- 下面的證明過程，忘了考慮約化質量所造成的影響 但是我懶得改了，所以看完以後請繼續往下看推文那裏的修文 就可一目瞭然哩 THX ---------------------------------------------- 1.藉由克卜勒第二定律 0.5r1v1 = 0.5r2v2 = πab/T --- (1) T:橢圓軌道週期 a:橢圓半長軸長度 b:橢圓半短軸長度 r1:近日點距離 r2:遠日點距離 2.藉由能量守恆 -GMm/r1 + 0.5mv1^2 = -GMm/r2 + 0.5mv2^2 --- (2) 取(1)其中一條，0.5r1v1 = πab/T a = (r1+r2)/2 b = (a^2 - c^2)^(1/2) c = a - r1 = (r2-r1)/2 代入上式 ∴ b = (r1r2)^(1/2) ∴0.5r1v1 = π * (r1+r2)/2 * (r1r2)^(1/2) / T --- (3) ∴ r1v1 = π*(r1+r2)*(r1r2)^(1/2)/T 由(2) 與 r1v1 = r2v2 可整理出 v1(r1,r2,GM)的式子 ==> GM(1/r2 - 1/r1) = 0.5(v2^2 - v1^2) ∵ v2 = r1/r2 * v1 ∴ 2GM(r1-r2)/r1r2 = v1^2 * (r1^2 - r2^2)/r2^2 ∴ 2GM/r1 = v1^2 * (r1+r2)/r2 ∴ v1 = [2GM * r2/r1 * 1/(r1+r2)]^(1/2) --- (4) 將(4)代入(3) ==> r1*[2GM * r2/r1 * 1/(r1+r2)]^(1/2) = π * (r1+r2) * (r1r2)^(1/2) / T ==> [2GM*r1r2]^(1/2) * 1/(r1+r2)^(1/2) = π * (r1+r2) * (r1r2)^(1/2) / T ==> (2GM)^(1/2) = π*(r1+r2)^(3/2) / T = π * [(r1+r2)/2]^(3/2)*2*2^(1/2)/T ∴ GM/4π^2 = [(r1+r2)/2]^3/T^2 = (平均半徑)^3/T^2 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.249.233 ※ 編輯: Qmmmmnn 來自: 140.112.249.233 (11/07 11:50) 謝謝提醒，我打到眼花了@~@ 你說的沒錯!!感謝提醒。 是約化質量那裏出了問題~。 若要判斷太陽會不會動，其實我個人認為這是沒甚麼意思的。 因為動與不動，是一種相對的概念，所以...接下來你應該懂我想說甚麼^^" ※ 編輯: Qmmmmnn 來自: 140.112.249.233 (11/07 21:48) 其實你的最後一句話就幫我說出了答案 之所以可看為單體 其實就是站在太陽的座標來看，太陽不會覺得自己在動，會覺得是行星在繞著它轉。 ------------------------------------------ 所以這不是質心座標，而是"太陽的座標" 高中時，幾乎每個老師都說是以質心的角度來看待使用約化質量這件事情。但實際上 卻沒有幾個老師去列式說明這句話的意義。換句話說，其實是要以相對某物的概念， 也就是以"某物的座標系"來看待這雙體運動時，就會得到約化質量這個結果。 在此題，就是以 ""太陽看到的行星加速度 = 行星相對太陽的加速度 = 太陽給行星的萬有引力/質量"" 來得到此質量為約化質量的。 詳細證明，維基百科有寫，可以去看看。 如果萬有引力的m要換約化質量的話，就表示在不同座標系下所看到的"力"不會相同了。 然後這就與證明約化質量的過程違背了，因為它假設換到另一個某物之座標系上時， 所看見的另外一物的受力與原本相同.. 我再重新寫一次好了 1. r1v1/2 = r2v2/2 = πab/T 2. -GMm/r1 + [Mm/(M+m)]v1^2/2 = -GMm/r2 + [Mm/(M+m)]v2^2/2 位能的值，要由萬有引力去做積分並且令無限遠的位能為0，而萬有引力不會因 以太陽的座標來看而改變，因此位能不會改變.. 所以2式就變為 -G(M+m)/r1 + 0.5*v1^2 = -G(M+m)/r2 + 0.5*v2^2 對照上述證明過程 可以得到最後的結果會是 G(M+m)/4π^2 = [(r1+r2)/2]^3/T^2 ※ 編輯: Qmmmmnn 來自: 140.112.249.233 (11/07 22:31) 恩，以這角度出發就會知道，當站在質心座標系上觀察時，會覺得它的總能量 變為內動能了，而這時候我覺得...可能就一樣去算它們兩者的動能， 的確會等於0.5*約化質量*相對速度^2吧 不過個人偏好以站在某物的座標系上來看..HMM。 謝謝學長提醒約化質量與萬有引力的事情。 ※ 編輯: Qmmmmnn 來自: 140.112.249.233 (11/07 22:42)