※ 引述《falltasitic (天然呆>"<)》之铭言： : 高中物理所提到万有引力证明克卜勒定律的方法 : 是假设行星是以圆周运动方式运行 : 但是克卜勒定律不是椭圆轨道吗 : 高中物理的证明方式应该是有问题的吧 : 麻烦大大可以帮我解惑一下，谢谢 ----------------------------------------- 其实高中一直都没有证明过椭圆轨道的克卜勒第三定律 我猜你现在问的是第三吧..Hmm 毕竟第一跟第二比较好理解。 以下证明其实不难，以高中生的程度是可以想到的(我高三就想到了) 在看以前，可以考虑要不要先自己想想看 给你个想法 你要搞出周期，而且这与半径有关，代表周期与椭圆的特性(半径、面积?)有关 接着，这周期可不是乱来的，它是遵守了某些定律 好比说，克卜勒第二定律、能量守恒、角动量守恒的，这些定律就像是 边界条件一样 所以靠这几个就可以搞出来了~~ 确定要看了吗? 那就往下吧^^ ----------------------------------------------- 下面的证明过程，忘了考虑约化质量所造成的影响 但是我懒得改了，所以看完以後请继续往下看推文那里的修文 就可一目了然哩 THX ---------------------------------------------- 1.藉由克卜勒第二定律 0.5r1v1 = 0.5r2v2 = πab/T --- (1) T:椭圆轨道周期 a:椭圆半长轴长度 b:椭圆半短轴长度 r1:近日点距离 r2:远日点距离 2.藉由能量守恒 -GMm/r1 + 0.5mv1^2 = -GMm/r2 + 0.5mv2^2 --- (2) 取(1)其中一条，0.5r1v1 = πab/T a = (r1+r2)/2 b = (a^2 - c^2)^(1/2) c = a - r1 = (r2-r1)/2 代入上式 ∴ b = (r1r2)^(1/2) ∴0.5r1v1 = π * (r1+r2)/2 * (r1r2)^(1/2) / T --- (3) ∴ r1v1 = π*(r1+r2)*(r1r2)^(1/2)/T 由(2) 与 r1v1 = r2v2 可整理出 v1(r1,r2,GM)的式子 ==> GM(1/r2 - 1/r1) = 0.5(v2^2 - v1^2) ∵ v2 = r1/r2 * v1 ∴ 2GM(r1-r2)/r1r2 = v1^2 * (r1^2 - r2^2)/r2^2 ∴ 2GM/r1 = v1^2 * (r1+r2)/r2 ∴ v1 = [2GM * r2/r1 * 1/(r1+r2)]^(1/2) --- (4) 将(4)代入(3) ==> r1*[2GM * r2/r1 * 1/(r1+r2)]^(1/2) = π * (r1+r2) * (r1r2)^(1/2) / T ==> [2GM*r1r2]^(1/2) * 1/(r1+r2)^(1/2) = π * (r1+r2) * (r1r2)^(1/2) / T ==> (2GM)^(1/2) = π*(r1+r2)^(3/2) / T = π * [(r1+r2)/2]^(3/2)*2*2^(1/2)/T ∴ GM/4π^2 = [(r1+r2)/2]^3/T^2 = (平均半径)^3/T^2 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.249.233 ※ 编辑: Qmmmmnn 来自: 140.112.249.233 (11/07 11:50) 谢谢提醒，我打到眼花了@~@ 你说的没错!!感谢提醒。 是约化质量那里出了问题~。 若要判断太阳会不会动，其实我个人认为这是没甚麽意思的。 因为动与不动，是一种相对的概念，所以...接下来你应该懂我想说甚麽^^" ※ 编辑: Qmmmmnn 来自: 140.112.249.233 (11/07 21:48) 其实你的最後一句话就帮我说出了答案 之所以可看为单体 其实就是站在太阳的座标来看，太阳不会觉得自己在动，会觉得是行星在绕着它转。 ------------------------------------------ 所以这不是质心座标，而是"太阳的座标" 高中时，几乎每个老师都说是以质心的角度来看待使用约化质量这件事情。但实际上 却没有几个老师去列式说明这句话的意义。换句话说，其实是要以相对某物的概念， 也就是以"某物的座标系"来看待这双体运动时，就会得到约化质量这个结果。 在此题，就是以 ""太阳看到的行星加速度 = 行星相对太阳的加速度 = 太阳给行星的万有引力/质量"" 来得到此质量为约化质量的。 详细证明，维基百科有写，可以去看看。 如果万有引力的m要换约化质量的话，就表示在不同座标系下所看到的"力"不会相同了。 然後这就与证明约化质量的过程违背了，因为它假设换到另一个某物之座标系上时， 所看见的另外一物的受力与原本相同.. 我再重新写一次好了 1. r1v1/2 = r2v2/2 = πab/T 2. -GMm/r1 + [Mm/(M+m)]v1^2/2 = -GMm/r2 + [Mm/(M+m)]v2^2/2 位能的值，要由万有引力去做积分并且令无限远的位能为0，而万有引力不会因 以太阳的座标来看而改变，因此位能不会改变.. 所以2式就变为 -G(M+m)/r1 + 0.5*v1^2 = -G(M+m)/r2 + 0.5*v2^2 对照上述证明过程 可以得到最後的结果会是 G(M+m)/4π^2 = [(r1+r2)/2]^3/T^2 ※ 编辑: Qmmmmnn 来自: 140.112.249.233 (11/07 22:31) 恩，以这角度出发就会知道，当站在质心座标系上观察时，会觉得它的总能量 变为内动能了，而这时候我觉得...可能就一样去算它们两者的动能， 的确会等於0.5*约化质量*相对速度^2吧 不过个人偏好以站在某物的座标系上来看..HMM。 谢谢学长提醒约化质量与万有引力的事情。 ※ 编辑: Qmmmmnn 来自: 140.112.249.233 (11/07 22:42)