作者Geigemachen ()
看板Physics
標題Re: [問題] 群速度色散(GVD)
時間Mon Oct 18 06:17:14 2010
※ 引述《jerry78424 (青松碧濤)》之銘言：
: 一道脈衝光在長L的介質中行進，
: 則Δτ(脈衝改變的寬度)與n(折射率)跟Δλ(脈衝頻譜寬度)的關係為何？
: (答案是Δτ=(L/c)*λ^2*(d^2 n/ dλ^2)*(Δλ/λ))
: 我用chain rule去解結果發現一堆消不掉的項....是不是該用別的解法?
chain rule就可以解，還有原式的答案少加了絕對值
1. 先推演基本的group index
phase index: n= c/Vp = c*(k/ω) ..(1)
group index: N= c/Vg = c*(dk/dω) ..(2)
(2)/(1): N=n* [(dk/dω)/(k/ω)] = n*(dln(k)/dln(ω)) ...(3)
介質中的wavevector k: k=n*2π/λ
=> dln(k)=dln(n)-dln(λ) .... (4)
ω與λ(真空中波長)的關係為 ω= 2πc/λ
dln(ω)=-dln(λ) ...(5)
把(4)代入(3)消去k，把(5) 代入(3)消去ω：
N=n* { [dln(n)-dln(λ)] / -dln(λ) }
=n* [ 1-dln(n)/dln(λ) ]
=n* [1-λ/n*dn/dλ]
=n-λ*dn/dλ ....(6)
2. 算Δτ
ΔN(Δλ)是由於頻寬所造成的group index差值
Δτ= L/c* |ΔN(Δλ) | ...(7)
結果一定要加絕對值，因為不管是正或是負的色散，
對原本沒有chirp的脈衝，
也就是各個頻率的光的尖峰值都是對齊同一個時間點達到最大值的脈衝，
時寬一定是越色散越寬的，不會越色散越窄。
(如果脈衝原來就有chirp，答案就更複雜了，還要有原本脈衝的chirp量才有答案，
不像是本題所敘述的狀況。)
(7)的窄頻狀況可近似為： ΔN(Δλ)=dN/dλ*Δλ ...(8)
把(6) 代入(8)得到
d
ΔN(Δλ)=Δλ* dN/dλ = Δλ*----[n-λ*dn/dλ ]
dλ
ΔN(Δλ)= Δλ* [ dn/dλ-dλ/dλ*dn/dλ-λ*d^2(n)/dλ^2 ]
ΔN(Δλ)= Δλ* ( 0-λ*d^2(n)/dλ^2 ) ....(9)
=
把(9)代回(7) Δτ= (L/c)*λ* | -Δλ*d^2(n)/dλ^2|
= (L/c)* |λ^2 *d^2 n / dλ^2 * (Δλ/λ)| ...(10)
由(10) 得證原式，依照原定義"Δτ(脈衝改變的寬度)"，加上絕對值符號才是對的。
或是把Δτ改稱為 " 脈衝改變的寬度的'絕對值' "
才足以對應不同材質的正負色散的兩種不同狀況。
--
--
▽×Ｅ＝－δＢ／δｔ ∮Ｅ‧ｄｌ＝－ｄ（∮Ｂ‧ｄｓ）／ｄｔ
▽×Ｈ＝Ｊ＋δＤ／δｔ ∮Ｈ‧ｄｌ＝Ｉ＋ｄ（∮Ｄ‧ｄｓ）／ｄｔ
▽‧Ｄ＝ρ ∮Ｄ‧ｄｓ＝Ｑ
▽‧Ｂ＝０ ∮Ｂ‧ｄｓ＝０
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.24.8.58
※ 編輯: Geigemachen 來自: 114.24.8.58 (10/18 06:41)
1F：推 jerry78424:非常感謝~~ 10/18 21:35
不客氣～～
2F：推 HDT:原PO簽名檔是什麼? 我只認得兩個= = 10/18 21:43
3F：推 bluesky2006:Maxwell's equations 10/18 21:45
4F：推 HDT:我只看過E和B的 D和H是啥? 10/18 21:46
5F：推 jerry78424:考慮介質的情況 10/18 21:47
6F：→ mouwat:第四章會教到D 第六or七章會有H 10/18 21:49
7F：推 xgcj:H D 還有T 10/18 21:57
8F：推 HDT:所以H是考慮介質的電場狀況 而D是考慮介質的磁場狀況? 10/18 22:02
9F：→ HDT:學長... 很難笑= = 10/18 22:03
10F：→ mouwat:D才是電場 10/18 22:04
11F：推 HDT:OK=A= 學長你好快就回到家了... 10/18 22:05
12F：→ mouwat:住旁邊而已 10/18 22:07
13F：→ xgcj:其實也可以這樣 dF=0 d*F=j 這是我學過最簡潔的"形式" 10/18 22:11
Four-vector 配上CGS 表示很簡潔
14F：推 ed78617:D是electirc displacement，GRIFFITHS拿出來複習吧 10/18 22:14
15F：推 HDT:...正在學而已 還沒到複習= = 10/18 22:23
16F：→ HDT:意思是你直接住在理論組討論室嗎? 10/18 22:23
17F：→ mouwat:.....大學城 10/18 22:27
18F：推 HDT:瞭解 電磁學四六七章是嗎 我現在來去翻翻看 10/18 22:43
Ｂ＝μＨ , Ｄ＝εＥ
※ 編輯: Geigemachen 來自: 114.24.8.58 (10/18 23:52)
19F：推 xgcj:給你的書你都沒看... 10/18 23:53
20F：推 HDT:嗯 電磁學cgs制的確比較簡潔具對稱性 μ和ε是? 10/18 23:53
21F：→ HDT:學長你也太... 我跟學校進度 你要我自己看那本看到第四章有點 10/18 23:54
22F：→ HDT:太看得起我了吧= = 學校進度也才到第二章... 10/18 23:54
23F：推 HDT:OK 查到了= = 研讀中... 10/19 00:39