作者Frobenius (▽．(▽×▽φ)=0)
看板Physics
標題Re: [問題] 球殼的電位
時間Wed Jun 9 22:52:32 2010
※ 引述《Beachboy (天煞孤星)》之銘言：
: 突然在想
: 如果要用積分，找出均勻帶電球殼外任一點的電位，這在大一普物算得出來嗎？
: 利用 ∫kdq/r 算出 V = kQ/r (假設總帶電是Q)
: 不能用E算。
: 想了一陣子，覺得好像很難算。
2ππ R 2 R 2
Q = ∫∫∫ ρ(r) r sinθdrdθdφ = ∫ ρ(r) 4πr dr
0 0 0 0
R Q 2 Q
= ∫ ───── 4πr dr = ───── 4/3 π R^3 = Q
0 4/3 π R^3 4/3 π R^3
2ππ r 2 r 2
q(r) = ∫∫∫ ρ(r) r sinθdrdθdφ = ∫ ρ(r) 4πr dr
0 0 0 0
R Q 2 Q 4/3 π r^3
= ∫ ───── 4πr dr = ───── 4/3 π r^3 = ───── Q
0 4/3 π R^3 4/3 π R^3 4/3 π R^3
r>R
→ → 2
∮ E ．dS = E(r) 4πr
S
→ → Q Q
∮ E ．dS = ── (高斯定律) => E(r) = ───── = kQ/r^2
S ε0 4πε0 r^2
∞ → → ∞
V(r) = ∫ E ．dr = ∫ kQ/r^2 dr = 0 - ( - kQ/r ) = kQ/r
r r
V(R) = kQ/R
r<R
→ → 2
∮ E ．dS = E(r) 4πr
S
→ → q(r) Q 4/3 π r^3 Q r
∮ E ．dS = ── = ── ───── (高斯定律) => E(r) = ───── = kQ r/R^3
S ε0 ε0 4/3 π R^3 4πε0 R^3
r → r →
E(r) = - ▽ V(r) => ▽ V(r) = - E(r) => ∫ ▽ V(r)．dr = - ∫ E(r)．dr
R R
R → →
V(r) - V(R) = ∫ E(r)．dr
r
R → → R
V(r) = ∫ E(r)．dr + V(R) = ∫ kQ r/R^3 dr + kQ/R
r r
= (1/2) kQ R^2/R^3 - (1/2) kQ r^2/R^3 + (1/2) kQ 2R^2/R^3
= (1/2) kQ/R^3 ( 3R^2 - r^2)
: 另外，對於不均勻分佈的帶電球殼(總電量仍Q)，
: 球殼外距圓心r處的電位V結果仍是V = kQ/r嗎？
: 整個忽然卡住XD
設電荷密度只與 r 有關：ρ(r)
2ππ R 2 R 2
Q = ∫∫∫ ρ(r) r sinθdrdθdφ = ∫ ρ(r) 4πr dr
0 0 0 0
2ππ r 2 r 2
q(r) = ∫∫∫ ρ(r) r sinθdrdθdφ = ∫ ρ(r) 4πr dr
0 0 0 0
r>R
→ → 2
∮ E ．dS = E(r) 4πr
S
→ → Q Q
∮ E ．dS = ── (高斯定律) => E(r) = ───── r = kQ/r^2
S ε0 4πε0 r^2
∞ → → ∞
V(r) = ∫ E ．dr = ∫ kQ/r^2 dr = 0 - ( - kQ/r ) = kQ/r
r r
V(R) = kQ/R
r<R
→ → 2
∮ E ．dS = E(r) 4πr
S
→ → q(r) q(r)
∮ E ．dS = ── (高斯定律) => E(r) = ───── = kq(r)/r^2
S ε0 4πε0 r^2
r → r →
E(r) = - ▽ V(r) => ▽ V(r) = - E(r) => ∫ ▽ V(r)．dr = - ∫ E(r)．dr
R R
R → →
V(r) - V(R) = ∫ E(r)．dr
r
R → → R
V(r) = ∫ E(r)．dr + V(R) = ∫ kq(r)/r^2 dr + kQ/R
r r
--
馬克斯威爾方程式：
→ →
高斯定律： ▽．D = ρ 磁線封閉：▽．Ｂ = 0
→ → → → →
法拉第定律：▽× E = - ∂ B /∂t 安培定律：▽× H = J + ∂ D /∂t
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 118.161.246.146
1F：推 xgcj:簽名檔用偏微符號會比較好~ 06/09 23:01
※ 編輯: Frobenius 來自: 118.161.246.146 (06/09 23:07)
2F：→ xgcj:對了如果電荷密度不是對稱的~那不能將E(r)直接從積分中提出來 06/09 23:10
3F：→ Frobenius:電荷密度如果不是對稱的那就跟角度θ、φ有關 06/09 23:12
4F：→ xgcj:吧!因為你也不能確定電場是對稱的!不過在無窮遠的漸進行為因 06/09 23:12
5F：→ xgcj:該還是平方反比率 06/09 23:13
6F：→ Frobenius:在這裡都只假設電荷密度只與距離r有關，所以可直接提出 06/09 23:13
7F：→ xgcj:這正是我要說的 06/09 23:14
8F：→ Frobenius:如果跟角度有關，算高斯定律那裡就要真的算面積分XD 06/09 23:15
9F：→ xgcj:那還要用Legendre+exp展開球極座標想到就快睡著了 06/09 23:19
10F：→ xgcj:Beachboy最後問的應該是要解Laplace eq不過球殼電荷就要用 06/09 23:23
11F：→ xgcj:Dirac delta function表示了~嘿嘿~到時候解起來剛好可以來殺 06/09 23:24
12F：→ xgcj:時間 06/09 23:25
13F：→ Frobenius:不透過電場直接算電位也就是解拉普拉斯方程或波松方程XD 06/09 23:25
14F：→ Frobenius:大一普物的電磁學應該不會考到大二電磁學的東西吧XD 06/09 23:26
15F：→ xgcj:不過最有SENSE的解法應該是要用GREEN FUNCTION解~只要你會積 06/09 23:32
16F：→ xgcj:就解出來了 06/09 23:32
17F：→ Frobenius:GREEN FUNCTION 我看很多人大四畢業還不太會用 囧 06/09 23:33
18F：→ xgcj:不過這一題用GREEN FUNCTION好像不太實際~還是用Legendre慢慢 06/09 23:36
19F：→ xgcj:展開對係數好了~ 06/09 23:36
20F：→ Frobenius:如果說跟角度無關，用本篇方法或解波松方程結果一樣 06/09 23:41
21F：→ Frobenius:如果說跟角度有關，就只能用波松方程解(ρ=0是拉普拉斯) 06/09 23:43
22F：→ xgcj:解電磁學題目時最喜歡遇到跟角度無關的題目了~ 06/09 23:44
23F：→ Frobenius:跟角度無關=> 解ODE 跟角度有關=> 解PDE 差很多XD 06/09 23:44
24F：→ xgcj:△V=ρδ(r-R)f(θ,φ)<=他的問題 這樣還要用正交性先將f分 06/09 23:56
25F：→ xgcj:解。然後變數分離之後對徑向方程的delta作積分之後才比較係數 06/09 23:57
26F：推 feynman511:不是球"殼"嗎 06/10 00:03
27F：→ Frobenius:△V=▽^2 V=ρ(r,θ,φ)δ(r-R) (無法分離變數將更複雜) 06/10 00:04
28F：→ Frobenius:球殼就是所謂的V(R) （在此假設與角度無關所得出的結果) 06/10 00:06
29F：→ Frobenius:以大一的程度來算跟角度無關的只與距離有關的就很不錯了 06/10 00:09
30F：→ Frobenius:其實本篇還得考慮是否為導體還是非導體 06/10 00:10
31F：→ xgcj:因為是殼所以才有delta fuction讓電荷集中在殼上~ 06/10 00:10
32F：→ Frobenius:在此篇的例子應該是非導體 06/10 00:11
33F：→ xgcj:如果導體又有外加磁場時那就算是導體也會有電荷分佈 06/10 00:15
34F：→ xgcj:打錯~是電場 06/10 00:16
35F：→ Frobenius:幸好本題沒有外加電場或磁場XD 06/10 00:18
36F：→ xgcj:加了就GG了XD 06/10 00:37
37F：推 xxxEVA:偏微符號怎麼打出來的？ 06/10 10:51
38F：→ Frobenius:∂前面加任意中文就會顯示：∂ 06/10 17:47
39F：→ Frobenius:∂ 06/10 17:48
40F：推 nightkid:∂ 06/10 20:31
41F：→ nightkid:科∂ 06/10 20:32
42F：→ nightkid:那你第一個∂是怎麼打出來的阿? 06/10 20:32
43F：→ Frobenius:∂ 06/10 21:25
44F：→ Frobenius:先打 06/10 21:26
45F：→ Frobenius:∂ 06/10 21:26
46F：→ Frobenius:再打科在上面那字之後 06/10 21:27
47F：→ Frobenius:再把 06/10 21:27
48F：→ Frobenius:∂ 06/10 21:27
49F：→ Frobenius:取消 06/10 21:27
50F：→ Frobenius:再貼一次 06/10 21:27
51F：→ Frobenius:∂ 06/10 21:27
52F：→ Frobenius:∂科 06/10 21:31
53F：推 nightkid:∂科 06/10 23:41
54F：→ nightkid:真的~~~~~Magic!!!! 06/10 23:41
55F：推 h888512:∂科 06/11 16:21
56F：→ h888512:∂喔/∂喔 06/11 16:22
※ 編輯: Frobenius 來自: 118.160.212.8 (06/19 22:46)
57F：推 s23325522:口國 03/04 15:43
58F：→ s23325522:∂科科 03/04 15:44
59F：→ s23325522:∂ 03/04 15:45
※ 編輯: Frobenius 來自: 118.161.242.244 (05/19 21:35)