作者Frobenius (▽．(▽×▽φ)=0)
看板Physics
标题Re: [问题] 球壳的电位
时间Wed Jun 9 22:52:32 2010
※ 引述《Beachboy (天煞孤星)》之铭言：
: 突然在想
: 如果要用积分，找出均匀带电球壳外任一点的电位，这在大一普物算得出来吗？
: 利用 ∫kdq/r 算出 V = kQ/r (假设总带电是Q)
: 不能用E算。
: 想了一阵子，觉得好像很难算。
2ππ R 2 R 2
Q = ∫∫∫ ρ(r) r sinθdrdθdφ = ∫ ρ(r) 4πr dr
0 0 0 0
R Q 2 Q
= ∫ ───── 4πr dr = ───── 4/3 π R^3 = Q
0 4/3 π R^3 4/3 π R^3
2ππ r 2 r 2
q(r) = ∫∫∫ ρ(r) r sinθdrdθdφ = ∫ ρ(r) 4πr dr
0 0 0 0
R Q 2 Q 4/3 π r^3
= ∫ ───── 4πr dr = ───── 4/3 π r^3 = ───── Q
0 4/3 π R^3 4/3 π R^3 4/3 π R^3
r>R
→ → 2
∮ E ．dS = E(r) 4πr
S
→ → Q Q
∮ E ．dS = ── (高斯定律) => E(r) = ───── = kQ/r^2
S ε0 4πε0 r^2
∞ → → ∞
V(r) = ∫ E ．dr = ∫ kQ/r^2 dr = 0 - ( - kQ/r ) = kQ/r
r r
V(R) = kQ/R
r<R
→ → 2
∮ E ．dS = E(r) 4πr
S
→ → q(r) Q 4/3 π r^3 Q r
∮ E ．dS = ── = ── ───── (高斯定律) => E(r) = ───── = kQ r/R^3
S ε0 ε0 4/3 π R^3 4πε0 R^3
r → r →
E(r) = - ▽ V(r) => ▽ V(r) = - E(r) => ∫ ▽ V(r)．dr = - ∫ E(r)．dr
R R
R → →
V(r) - V(R) = ∫ E(r)．dr
r
R → → R
V(r) = ∫ E(r)．dr + V(R) = ∫ kQ r/R^3 dr + kQ/R
r r
= (1/2) kQ R^2/R^3 - (1/2) kQ r^2/R^3 + (1/2) kQ 2R^2/R^3
= (1/2) kQ/R^3 ( 3R^2 - r^2)
: 另外，对於不均匀分布的带电球壳(总电量仍Q)，
: 球壳外距圆心r处的电位V结果仍是V = kQ/r吗？
: 整个忽然卡住XD
设电荷密度只与 r 有关：ρ(r)
2ππ R 2 R 2
Q = ∫∫∫ ρ(r) r sinθdrdθdφ = ∫ ρ(r) 4πr dr
0 0 0 0
2ππ r 2 r 2
q(r) = ∫∫∫ ρ(r) r sinθdrdθdφ = ∫ ρ(r) 4πr dr
0 0 0 0
r>R
→ → 2
∮ E ．dS = E(r) 4πr
S
→ → Q Q
∮ E ．dS = ── (高斯定律) => E(r) = ───── r = kQ/r^2
S ε0 4πε0 r^2
∞ → → ∞
V(r) = ∫ E ．dr = ∫ kQ/r^2 dr = 0 - ( - kQ/r ) = kQ/r
r r
V(R) = kQ/R
r<R
→ → 2
∮ E ．dS = E(r) 4πr
S
→ → q(r) q(r)
∮ E ．dS = ── (高斯定律) => E(r) = ───── = kq(r)/r^2
S ε0 4πε0 r^2
r → r →
E(r) = - ▽ V(r) => ▽ V(r) = - E(r) => ∫ ▽ V(r)．dr = - ∫ E(r)．dr
R R
R → →
V(r) - V(R) = ∫ E(r)．dr
r
R → → R
V(r) = ∫ E(r)．dr + V(R) = ∫ kq(r)/r^2 dr + kQ/R
r r
--
马克斯威尔方程式：
→ →
高斯定律： ▽．D = ρ 磁线封闭：▽．Ｂ = 0
→ → → → →
法拉第定律：▽× E = - ∂ B /∂t 安培定律：▽× H = J + ∂ D /∂t
--
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◆ From: 118.161.246.146
1F：推 xgcj:签名档用偏微符号会比较好~ 06/09 23:01
※ 编辑: Frobenius 来自: 118.161.246.146 (06/09 23:07)
2F：→ xgcj:对了如果电荷密度不是对称的~那不能将E(r)直接从积分中提出来 06/09 23:10
3F：→ Frobenius:电荷密度如果不是对称的那就跟角度θ、φ有关 06/09 23:12
4F：→ xgcj:吧!因为你也不能确定电场是对称的!不过在无穷远的渐进行为因 06/09 23:12
5F：→ xgcj:该还是平方反比率 06/09 23:13
6F：→ Frobenius:在这里都只假设电荷密度只与距离r有关，所以可直接提出 06/09 23:13
7F：→ xgcj:这正是我要说的 06/09 23:14
8F：→ Frobenius:如果跟角度有关，算高斯定律那里就要真的算面积分XD 06/09 23:15
9F：→ xgcj:那还要用Legendre+exp展开球极座标想到就快睡着了 06/09 23:19
10F：→ xgcj:Beachboy最後问的应该是要解Laplace eq不过球壳电荷就要用 06/09 23:23
11F：→ xgcj:Dirac delta function表示了~嘿嘿~到时候解起来刚好可以来杀 06/09 23:24
12F：→ xgcj:时间 06/09 23:25
13F：→ Frobenius:不透过电场直接算电位也就是解拉普拉斯方程或波松方程XD 06/09 23:25
14F：→ Frobenius:大一普物的电磁学应该不会考到大二电磁学的东西吧XD 06/09 23:26
15F：→ xgcj:不过最有SENSE的解法应该是要用GREEN FUNCTION解~只要你会积 06/09 23:32
16F：→ xgcj:就解出来了 06/09 23:32
17F：→ Frobenius:GREEN FUNCTION 我看很多人大四毕业还不太会用 囧 06/09 23:33
18F：→ xgcj:不过这一题用GREEN FUNCTION好像不太实际~还是用Legendre慢慢 06/09 23:36
19F：→ xgcj:展开对系数好了~ 06/09 23:36
20F：→ Frobenius:如果说跟角度无关，用本篇方法或解波松方程结果一样 06/09 23:41
21F：→ Frobenius:如果说跟角度有关，就只能用波松方程解(ρ=0是拉普拉斯) 06/09 23:43
22F：→ xgcj:解电磁学题目时最喜欢遇到跟角度无关的题目了~ 06/09 23:44
23F：→ Frobenius:跟角度无关=> 解ODE 跟角度有关=> 解PDE 差很多XD 06/09 23:44
24F：→ xgcj:△V=ρδ(r-R)f(θ,φ)<=他的问题 这样还要用正交性先将f分 06/09 23:56
25F：→ xgcj:解。然後变数分离之後对径向方程的delta作积分之後才比较系数 06/09 23:57
26F：推 feynman511:不是球"壳"吗 06/10 00:03
27F：→ Frobenius:△V=▽^2 V=ρ(r,θ,φ)δ(r-R) (无法分离变数将更复杂) 06/10 00:04
28F：→ Frobenius:球壳就是所谓的V(R) （在此假设与角度无关所得出的结果) 06/10 00:06
29F：→ Frobenius:以大一的程度来算跟角度无关的只与距离有关的就很不错了 06/10 00:09
30F：→ Frobenius:其实本篇还得考虑是否为导体还是非导体 06/10 00:10
31F：→ xgcj:因为是壳所以才有delta fuction让电荷集中在壳上~ 06/10 00:10
32F：→ Frobenius:在此篇的例子应该是非导体 06/10 00:11
33F：→ xgcj:如果导体又有外加磁场时那就算是导体也会有电荷分布 06/10 00:15
34F：→ xgcj:打错~是电场 06/10 00:16
35F：→ Frobenius:幸好本题没有外加电场或磁场XD 06/10 00:18
36F：→ xgcj:加了就GG了XD 06/10 00:37
37F：推 xxxEVA:偏微符号怎麽打出来的？ 06/10 10:51
38F：→ Frobenius:∂前面加任意中文就会显示：∂ 06/10 17:47
39F：→ Frobenius:∂ 06/10 17:48
40F：推 nightkid:∂ 06/10 20:31
41F：→ nightkid:科∂ 06/10 20:32
42F：→ nightkid:那你第一个∂是怎麽打出来的阿? 06/10 20:32
43F：→ Frobenius:∂ 06/10 21:25
44F：→ Frobenius:先打 06/10 21:26
45F：→ Frobenius:∂ 06/10 21:26
46F：→ Frobenius:再打科在上面那字之後 06/10 21:27
47F：→ Frobenius:再把 06/10 21:27
48F：→ Frobenius:∂ 06/10 21:27
49F：→ Frobenius:取消 06/10 21:27
50F：→ Frobenius:再贴一次 06/10 21:27
51F：→ Frobenius:∂ 06/10 21:27
52F：→ Frobenius:∂科 06/10 21:31
53F：推 nightkid:∂科 06/10 23:41
54F：→ nightkid:真的~~~~~Magic!!!! 06/10 23:41
55F：推 h888512:∂科 06/11 16:21
56F：→ h888512:∂喔/∂喔 06/11 16:22
※ 编辑: Frobenius 来自: 118.160.212.8 (06/19 22:46)
57F：推 s23325522:口国 03/04 15:43
58F：→ s23325522:∂科科 03/04 15:44
59F：→ s23325522:∂ 03/04 15:45
※ 编辑: Frobenius 来自: 118.161.242.244 (05/19 21:35)