作者Frobenius (▽．(▽×▽φ)=0)
看板Physics
標題[問題] 強簡併之 Fermi-Dirac 氣體：能量於低溫極限下之展開式
時間Tue Mar 23 00:37:40 2010
在 p > -1 ，且 Ef >> KT => (Ef/KT) >> 1 時之低溫極限下：
p
∞ p ∞ E
∫ E F dE = ∫ ─────── dE
0 FD 0 (E-Ef)/kT
e + 1
-----------------------------------------------------------------------------
可藉由兩種方法計算之：
1. Sommerfeld's Method
(吳大猷理論物理的第五冊 熱力學，氣體運動論，統計力學的第十九章 , P427～P428)
(無外力場下即不考慮自旋的情況）
(另外 P427 最後一式中的 Binomial符號，括弧中應該改 2j 為 2j+1 這樣才正確)
2. Integrating by part
(Ashley H. Carter, Classical and Statistical Thermodynamics , P358～P359)
(考慮自旋的情況，所以能量密度為上例的兩倍）
※ 第二種方法技巧較少也較容易理解
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1 p+1 ∞ 2n 1 d^(2n) p+1
≒ ── [ Ef + Σ 2(KT) ( 1 - ──── ) ζ(2n) ──── ( Ef ) ]
p+1 n=1 2^(2n-1) dEf^(2n)
1 p+1 ∞ 2n 1 (p+1)! p+1-2n
= ── [ Ef + Σ 2(KT) ( 1 - ──── ) ζ(2n) ──── Ef ]
p+1 n=1 2^(2n-1) (p+1-2n)!
1 p+1 ∞ 1 (p+1)! KT 2n
= ── Ef [ 1 + Σ 2 ( 1 - ──── ) ζ(2n) ──── ( ─ ) ]
p+1 n=1 2^(2n-1) (p+1-2n)! Ef
1 p+1 ∞ 1 (p+1)! T 2n
= ── Ef [ 1 + Σ 2 ( 1 - ──── ) ζ(2n) ──── ( ─ ) ]
p+1 n=1 2^(2n-1) (p+1-2n)! Tf
在此以無外力場下即不考慮自旋的情況當例子：
2 m 3/2 1/2
能量密度 g = 2πV ( ── ) E (若考慮自旋自動乘2)
e h^2
1/2
∞ 2 m 3/2 ∞ E
N(T) = ∫ g F dE = 2πV ( ── ) ∫ ─────── dE
0 e FD h^2 0 (E-Ef)/kT
e + 1
4πV 3/2 3/2 π^2 T 2 7 π^4 T 4
≒ ── (2m) Ef [ 1 + ── ( ─ ) + ─── ( ─ ) + … ]
3h^3 8 Tf 640 Tf
※ 吳大猷的書上的四次項為 7 π^4 / 320 應該是計算錯誤不然就是印錯
∞ 2 m 3/2 Ef(0) 1/2
N(0) = ∫ g F dE = 2πV ( ── ) ∫ E dE
0 e FD h^2 0
4πV 3/2 3/2 4πV 3/2
= ── (2m) Ef(0) = ── (2m Ef(0))
3h^3 3h^3
又粒子數守恆 N(T) = N(0)
3/2 π^2 T 2 7 π^4 T 4 3/2
Ef(T) [ 1 + ── ( ─ ) + ─── ( ─ ) + … ] = Ef(0)
8 Tf 640 Tf
3/2 3/2 π^2 T 2 7 π^4 T 4 -1
Ef(T) = Ef(0) [ 1 + ── ( ─ ) + ─── ( ─ ) + … ]
8 Tf 640 Tf
π^2 T 2 7 π^4 T 4 -2/3
Ef(T) = Ef(0) [ 1 + ── ( ─ ) + ─── ( ─ ) + … ]
8 Tf 640 Tf
π^2 T 2 π^4 T 4
Ef(T)≒ Ef(0) [ 1 - ── ( ─ ) + ─── ( ─ ) + … ]
12 Tf 720 Tf
http://en.wikipedia.org/wiki/Fermi_energy
但是網頁中 Free electron gas 內容中的四次項為 - π^4 / 80 不一樣
3/2
∞ 2 m 3/2 ∞ E
U(T) = ∫ E g F dE = 2πV ( ── ) ∫ ─────── dE
0 e FD h^2 0 (E-Ef)/kT
e + 1
4πV 3/2 5/2 5 π^2 T 2 7 π^4 T 4
≒ ── (2m) Ef [ 1 + ─── ( ─ ) - ─── ( ─ ) + … ]
5h^3 8 Tf 384 Tf
3 4πV 3/2 Ef(T) 5/2
= - ── (2m Ef(0)) Ef(0) ( ── )
5 3h^3 Ef(0)
5 π^2 T 2 7 π^4 T 4
．[ 1 + ─── ( ─ ) - ─── ( ─ ) + … ]
8 Tf 384 Tf
3 π^2 T 2 π^4 T 4 5/2
= - N(0) Ef(0) [ 1 - ── ( ─ ) + ─── ( ─ ) + … ]
5 12 Tf 720 Tf
5 π^2 T 2 7 π^4 T 4
．[ 1 + ─── ( ─ ) - ─── ( ─ ) + … ]
8 Tf 384 Tf
3 5 π^2 T 2 19π^4 T 4
= - N(0) Ef(0) [ 1 + ─── ( ─ ) - ─── ( ─ ) + … ]
5 12 Tf 144 Tf
但是在 Ashley H. Carter, Classical and Statistical Thermodynamics , P365
(19.18)式中的四次項為 - π^4 / 16 有出入
且原文書中的 U 對 T 微分可以得到比熱的展開式
希望有高手能解開我的疑惑，指出那個步驟錯了，
然後導出最正確的結果！ 感激不盡^^
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電子Dirac 方程式：[c(α．p) + β m0 c^2 + V( r )]Ψ = i hbar dΨ/dt
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◆ From: 118.160.213.211
※ 編輯: Frobenius 來自: 118.160.213.211 (03/23 00:57)
1F：推 chungweitw:看來打好久. 真認真. 03/23 07:37
2F：→ chungweitw:看來你的 Ef 代表 chemical potential. 是溫度的函數. 03/23 07:38
3F：→ chungweitw:那麼...你的 expansion 應該是 (kT/Ef)^n 才對. 03/23 07:40
4F：→ chungweitw:而不是 (T/Tf)^n. 因為 Ef 是 T 的函數. 03/23 07:41
5F：→ Frobenius:kT/Ef = T/(Ef/k) = T/Tf 03/23 10:51
6F：→ Frobenius:原文書P360的(19.15)上一行 03/23 10:55
7F：→ Frobenius:Finally,we replace μ in the "correction term" by 03/23 10:57
8F：→ Frobenius:μ(0) = k Tf. 上面的μ就是Ef(T),μ(0)=Ef(0)=k Tf 03/23 10:59
9F：→ chungweitw:我回一篇好了...因為你有些地方該是 Ef. 有些是 Tf 03/23 11:01
10F：→ Frobenius:即分母中的Ef通通用Ef(0)取代,然後再把Ef(0)換成Tf 03/23 11:02
11F：→ Frobenius:其實我自己也覺得課本中的近似也很牽強XD 03/23 11:03
12F：→ Frobenius:Fig19.4 Exact and approximate calculations of 03/23 11:05
13F：→ Frobenius:μ/μ(0) versus T/Tf 意指這樣的近似跟exact不會差多少 03/23 11:06