作者Frobenius (▽．(▽×▽φ)=0)
看板Physics
标题[问题] 强简并之 Fermi-Dirac 气体：能量於低温极限下之展开式
时间Tue Mar 23 00:37:40 2010
在 p > -1 ，且 Ef >> KT => (Ef/KT) >> 1 时之低温极限下：
p
∞ p ∞ E
∫ E F dE = ∫ ─────── dE
0 FD 0 (E-Ef)/kT
e + 1
-----------------------------------------------------------------------------
可藉由两种方法计算之：
1. Sommerfeld's Method
(吴大猷理论物理的第五册 热力学，气体运动论，统计力学的第十九章 , P427～P428)
(无外力场下即不考虑自旋的情况）
(另外 P427 最後一式中的 Binomial符号，括弧中应该改 2j 为 2j+1 这样才正确)
2. Integrating by part
(Ashley H. Carter, Classical and Statistical Thermodynamics , P358～P359)
(考虑自旋的情况，所以能量密度为上例的两倍）
※ 第二种方法技巧较少也较容易理解
-----------------------------------------------------------------------------
1 p+1 ∞ 2n 1 d^(2n) p+1
≒ ── [ Ef + Σ 2(KT) ( 1 - ──── ) ζ(2n) ──── ( Ef ) ]
p+1 n=1 2^(2n-1) dEf^(2n)
1 p+1 ∞ 2n 1 (p+1)! p+1-2n
= ── [ Ef + Σ 2(KT) ( 1 - ──── ) ζ(2n) ──── Ef ]
p+1 n=1 2^(2n-1) (p+1-2n)!
1 p+1 ∞ 1 (p+1)! KT 2n
= ── Ef [ 1 + Σ 2 ( 1 - ──── ) ζ(2n) ──── ( ─ ) ]
p+1 n=1 2^(2n-1) (p+1-2n)! Ef
1 p+1 ∞ 1 (p+1)! T 2n
= ── Ef [ 1 + Σ 2 ( 1 - ──── ) ζ(2n) ──── ( ─ ) ]
p+1 n=1 2^(2n-1) (p+1-2n)! Tf
在此以无外力场下即不考虑自旋的情况当例子：
2 m 3/2 1/2
能量密度 g = 2πV ( ── ) E (若考虑自旋自动乘2)
e h^2
1/2
∞ 2 m 3/2 ∞ E
N(T) = ∫ g F dE = 2πV ( ── ) ∫ ─────── dE
0 e FD h^2 0 (E-Ef)/kT
e + 1
4πV 3/2 3/2 π^2 T 2 7 π^4 T 4
≒ ── (2m) Ef [ 1 + ── ( ─ ) + ─── ( ─ ) + … ]
3h^3 8 Tf 640 Tf
※ 吴大猷的书上的四次项为 7 π^4 / 320 应该是计算错误不然就是印错
∞ 2 m 3/2 Ef(0) 1/2
N(0) = ∫ g F dE = 2πV ( ── ) ∫ E dE
0 e FD h^2 0
4πV 3/2 3/2 4πV 3/2
= ── (2m) Ef(0) = ── (2m Ef(0))
3h^3 3h^3
又粒子数守恒 N(T) = N(0)
3/2 π^2 T 2 7 π^4 T 4 3/2
Ef(T) [ 1 + ── ( ─ ) + ─── ( ─ ) + … ] = Ef(0)
8 Tf 640 Tf
3/2 3/2 π^2 T 2 7 π^4 T 4 -1
Ef(T) = Ef(0) [ 1 + ── ( ─ ) + ─── ( ─ ) + … ]
8 Tf 640 Tf
π^2 T 2 7 π^4 T 4 -2/3
Ef(T) = Ef(0) [ 1 + ── ( ─ ) + ─── ( ─ ) + … ]
8 Tf 640 Tf
π^2 T 2 π^4 T 4
Ef(T)≒ Ef(0) [ 1 - ── ( ─ ) + ─── ( ─ ) + … ]
12 Tf 720 Tf
http://en.wikipedia.org/wiki/Fermi_energy
但是网页中 Free electron gas 内容中的四次项为 - π^4 / 80 不一样
3/2
∞ 2 m 3/2 ∞ E
U(T) = ∫ E g F dE = 2πV ( ── ) ∫ ─────── dE
0 e FD h^2 0 (E-Ef)/kT
e + 1
4πV 3/2 5/2 5 π^2 T 2 7 π^4 T 4
≒ ── (2m) Ef [ 1 + ─── ( ─ ) - ─── ( ─ ) + … ]
5h^3 8 Tf 384 Tf
3 4πV 3/2 Ef(T) 5/2
= - ── (2m Ef(0)) Ef(0) ( ── )
5 3h^3 Ef(0)
5 π^2 T 2 7 π^4 T 4
．[ 1 + ─── ( ─ ) - ─── ( ─ ) + … ]
8 Tf 384 Tf
3 π^2 T 2 π^4 T 4 5/2
= - N(0) Ef(0) [ 1 - ── ( ─ ) + ─── ( ─ ) + … ]
5 12 Tf 720 Tf
5 π^2 T 2 7 π^4 T 4
．[ 1 + ─── ( ─ ) - ─── ( ─ ) + … ]
8 Tf 384 Tf
3 5 π^2 T 2 19π^4 T 4
= - N(0) Ef(0) [ 1 + ─── ( ─ ) - ─── ( ─ ) + … ]
5 12 Tf 144 Tf
但是在 Ashley H. Carter, Classical and Statistical Thermodynamics , P365
(19.18)式中的四次项为 - π^4 / 16 有出入
且原文书中的 U 对 T 微分可以得到比热的展开式
希望有高手能解开我的疑惑，指出那个步骤错了，
然後导出最正确的结果！ 感激不尽^^
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电子Dirac 方程式：[c(α．p) + β m0 c^2 + V( r )]Ψ = i hbar dΨ/dt
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◆ From: 118.160.213.211
※ 编辑: Frobenius 来自: 118.160.213.211 (03/23 00:57)
1F：推 chungweitw:看来打好久. 真认真. 03/23 07:37
2F：→ chungweitw:看来你的 Ef 代表 chemical potential. 是温度的函数. 03/23 07:38
3F：→ chungweitw:那麽...你的 expansion 应该是 (kT/Ef)^n 才对. 03/23 07:40
4F：→ chungweitw:而不是 (T/Tf)^n. 因为 Ef 是 T 的函数. 03/23 07:41
5F：→ Frobenius:kT/Ef = T/(Ef/k) = T/Tf 03/23 10:51
6F：→ Frobenius:原文书P360的(19.15)上一行 03/23 10:55
7F：→ Frobenius:Finally,we replace μ in the "correction term" by 03/23 10:57
8F：→ Frobenius:μ(0) = k Tf. 上面的μ就是Ef(T),μ(0)=Ef(0)=k Tf 03/23 10:59
9F：→ chungweitw:我回一篇好了...因为你有些地方该是 Ef. 有些是 Tf 03/23 11:01
10F：→ Frobenius:即分母中的Ef通通用Ef(0)取代,然後再把Ef(0)换成Tf 03/23 11:02
11F：→ Frobenius:其实我自己也觉得课本中的近似也很牵强XD 03/23 11:03
12F：→ Frobenius:Fig19.4 Exact and approximate calculations of 03/23 11:05
13F：→ Frobenius:μ/μ(0) versus T/Tf 意指这样的近似跟exact不会差多少 03/23 11:06