: 解 PDE 除了 eigenfunction 的方法, 還可以用 Green's Function : 2 : ex. ▽ u = Q st. u = f (r) , δu/δn = g (r) ^^^^^^^^^ Poisson's eqn. 這個方程式 除了你提的inhomogeneous 這項特性之外 還有一個重點 就是它是"線性"的 (linear) Poisson's eqn. 代表的物理意義 就是一個有input/output的擴散系統 inhomogeneous term, Q(r) 就是系統外來的input 所要求解的u(r) 就是系統對這個input Q(r) 所產生的"響應"(response) 就我熟悉的熱傳學來舉例 Q(r)就是一個熱源, heat source u(r)就是物質因為熱源 所形成的溫度場T Laplacian operator ▽^2 在物理上代表一個很重要的特性 就是"擴散" 這家伙很有意思 它喜歡"齊頭式的平等" 也就是 你高 它把你壓下來 你矮 它把你拉上去 至於為什麼 溫度場的擴散 ▽^2[u(r)] 會等於熱源Q(r) 中間那個"等號" 為何能成立? 那是因為物理性質的 "守恆定律" 以熱傳的例子來說 這個方程式的意義為 "能量的守恆" 同樣的Poisson's eqn. 在電磁學裡 Q(r)為電荷密度 u(r)為 electric potential field 方程式代表 "電位的擴散" (電磁的部分小弟沒有很熟 還請指正) 現在回到PDE的 Green's function解法 如果今天對一物理系統 施以一個"脈衝"(impulse input) 在一點r0 即 δ(r-r0) 則滿足Poisson's eqn.的系統對這個 impulse所產生的響應 就是它的Green's function "系統對某一點 r0 的input 在另一點 r 所造成的響應" 為G(r,r0) r≠r0 滿足governing eqn. => ▽^2[G(r,r0)] = δ(r-r0) 重點來了 如果impulse input不只發生在一點 而是數個點 那麼系統會如何響應? "因為Poisson's eqn.是線性的" 線性的好處是可以疊加(superposition) 所以對所有impulse input的點作疊加 ∫ [Q(r0)．δ(r-r0)] d(r0) = Q(r) 其響應為 ∫ [Q(r0)．G(r,r0)] dr0 = u(r) 當然 Poisson's eqn. 只是最基本的Green's function方法求解DE的例子 其他還有更複雜的PDE或是ODE 但是Green's function的基本精神就是這樣 "線性 所以可疊加" 另外有BC存在 系統的響應也會受BC影響 那就是你寫的後面那項了 : 解法就是視 nonhomogeneous term Q 與 boundary conditions 為許多離散點 : 而這些離散點影響著 u : 離散點（ Free Space Green's Function ）定義為： : 2 : ▽ G ( r,r0 ) = delta ( r-r0 ) : 使用 Green's second identity 可以導出 : u (r) = : δG δu : ∫ G(r,r0)．Q(r0)．dV(r0) + ∫ [ u(r1)．——(r,r1) - G(r,r1)——．(r1) ] dS(r1) : V S δn δn : source boundary conditions : 而且可求出 G(r) = -1/4π(r-r0), for r =/= r0 : ---------------------------------------------------------------------------- : 問題來了, 我們可以觀察出 u 受到 Q 和 BCs 兩者的影響 : 可是： : 2 : 1) 為何 ▽ G 會 model 成 delta function ,而非 ▽G 或 G : 有實際的物理系統可以輔助理解嗎？ : 可以解釋 G 和 Q 交互作用, u 和 G'作用, G 和 u'負作用, 三者合起來影響 u 嗎? : 2) G 如果是正比 (1/r), 用一維的例子來看, G' 長怎樣呢? : G''又會是delta function 嗎? 原點外的其他點的二階微分不是零啊? : 可以用一維空間舉個三者疊加成 u 的例子嗎? -- The World Series champions of 2006 is St.Louis Cardinals !!! --

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