: 解 PDE 除了 eigenfunction 的方法, 还可以用 Green's Function : 2 : ex. ▽ u = Q st. u = f (r) , δu/δn = g (r) ^^^^^^^^^ Poisson's eqn. 这个方程式 除了你提的inhomogeneous 这项特性之外 还有一个重点 就是它是"线性"的 (linear) Poisson's eqn. 代表的物理意义 就是一个有input/output的扩散系统 inhomogeneous term, Q(r) 就是系统外来的input 所要求解的u(r) 就是系统对这个input Q(r) 所产生的"响应"(response) 就我熟悉的热传学来举例 Q(r)就是一个热源, heat source u(r)就是物质因为热源 所形成的温度场T Laplacian operator ▽^2 在物理上代表一个很重要的特性 就是"扩散" 这家伙很有意思 它喜欢"齐头式的平等" 也就是 你高 它把你压下来 你矮 它把你拉上去 至於为什麽 温度场的扩散 ▽^2[u(r)] 会等於热源Q(r) 中间那个"等号" 为何能成立? 那是因为物理性质的 "守恒定律" 以热传的例子来说 这个方程式的意义为 "能量的守恒" 同样的Poisson's eqn. 在电磁学里 Q(r)为电荷密度 u(r)为 electric potential field 方程式代表 "电位的扩散" (电磁的部分小弟没有很熟 还请指正) 现在回到PDE的 Green's function解法 如果今天对一物理系统 施以一个"脉冲"(impulse input) 在一点r0 即 δ(r-r0) 则满足Poisson's eqn.的系统对这个 impulse所产生的响应 就是它的Green's function "系统对某一点 r0 的input 在另一点 r 所造成的响应" 为G(r,r0) r≠r0 满足governing eqn. => ▽^2[G(r,r0)] = δ(r-r0) 重点来了 如果impulse input不只发生在一点 而是数个点 那麽系统会如何响应? "因为Poisson's eqn.是线性的" 线性的好处是可以叠加(superposition) 所以对所有impulse input的点作叠加 ∫ [Q(r0)．δ(r-r0)] d(r0) = Q(r) 其响应为 ∫ [Q(r0)．G(r,r0)] dr0 = u(r) 当然 Poisson's eqn. 只是最基本的Green's function方法求解DE的例子 其他还有更复杂的PDE或是ODE 但是Green's function的基本精神就是这样 "线性 所以可叠加" 另外有BC存在 系统的响应也会受BC影响 那就是你写的後面那项了 : 解法就是视 nonhomogeneous term Q 与 boundary conditions 为许多离散点 : 而这些离散点影响着 u : 离散点（ Free Space Green's Function ）定义为： : 2 : ▽ G ( r,r0 ) = delta ( r-r0 ) : 使用 Green's second identity 可以导出 : u (r) = : δG δu : ∫ G(r,r0)．Q(r0)．dV(r0) + ∫ [ u(r1)．——(r,r1) - G(r,r1)——．(r1) ] dS(r1) : V S δn δn : source boundary conditions : 而且可求出 G(r) = -1/4π(r-r0), for r =/= r0 : ---------------------------------------------------------------------------- : 问题来了, 我们可以观察出 u 受到 Q 和 BCs 两者的影响 : 可是： : 2 : 1) 为何 ▽ G 会 model 成 delta function ,而非 ▽G 或 G : 有实际的物理系统可以辅助理解吗？ : 可以解释 G 和 Q 交互作用, u 和 G'作用, G 和 u'负作用, 三者合起来影响 u 吗? : 2) G 如果是正比 (1/r), 用一维的例子来看, G' 长怎样呢? : G''又会是delta function 吗? 原点外的其他点的二阶微分不是零啊? : 可以用一维空间举个三者叠加成 u 的例子吗? -- The World Series champions of 2006 is St.Louis Cardinals !!! --

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