※ 引述《ntust661 (661)》之銘言： : 圖形 : ← : (x,y+Δy) (x+Δx,y+Δy) : ┌───┐ : │ │Δy : ↓ │ │ ↑ : └───┘ : (x,y) Δx (x+Δx,y) : → : 得到 底部流量 P(x,y) Δx : 頂部流量 - P(x+Δx,y+Δy)Δx : 右邊流量 Q(x+Δx,y) Δy : 左邊流量 - Q(x,y+Δy)Δy : 放一起， : - P(x+Δx,y+Δy) Δx + P(x,y) Δx + Q(x+Δx,y) Δy - Q(x,y+Δy) Δy : 這時候 加 P(x,y+Δy) 減 P(x,y+Δy) 加 Q(x+Δx,y+Δy) 減 Q(x+Δx,y+Δy) : 會變成 : d P d P d Q d Q : ( - ─── Δx - ─── Δy ) Δx + ( ─── Δx - ─── Δy ) Δy : d x d y d x d y : Δx 逼近趨近於零變成 dx : Δy 逼近趨近於零變成 dy : dxdx dydy 的項 小到不能在小...所以消掉。 推 chendaolong:仔細再看了一次，這篇推導是有問題的，dxdx & dydy是 12/05 17:09 → chendaolong:跟dxdy同數量級的，不能無緣無故削掉。 12/05 17:10 先定義一個東西叫環量 → → → 如在作用力場 F (x) 中，一直點沿封閉區線運轉一週時，場力 F 所做的功為： → → → W = ∮F‧dx , 其中 dx 為線元素，積分為線的環積分 → → 又或是在流速場 v (x) 中，積分 → → ∮v‧dx 表示在單位時間內，沿封閉區線正向流動的環流 Q → → 又或是在磁場強度 H (x) 中，安培環路定律 → → ∮H‧dx = I 表示對磁場強度沿封閉區線做積分等於總電流強度 所以數學上可以定義有上面形式的量都叫環量 → → Γ = ∮F‧dx = ∮{Pdx + Qdy + Rdz} 這個環量跟封閉曲線所圍的面積大小有關 如果我們要研究場中某個點 M 的性質 最簡單的方法就是把這個量除以面積，並將面積取極限： → → ∮ F‧dx ΔΓ Δs μ = lim ------ = lim ---------- n ΔA→M ΔA ΔA→M ΔA → 其中μ 為環量面密度，它是跟面積ΔA的單位法向量 n 有關的 n ∮_Δs 表示對 A+ΔA 的環積分減掉對 A 的環積分 環量面密度，或簡稱環量密度，也就是環量對面積的變化率 要得到上式的明確表示式，先計算ΔΓ → → ΔΓ = ∮ F‧dx = ∮ {Pdx + Qdy + Rdz} Δs Δs ┌─┼┼──┐s+Δs │P(s+Δs)dx│ ┌┼┼─┐s 其中 │ │ │P(s)dx│ ∮( )dx = ∮( )dx -∮( )dx │ ↑ - │ ↑ Δs s+Δs s │ │ │ │ │ │ └───┘ └─────┘ ┌─────┐ │┌───┐│ ││ ││ = ├┤ ↓↑ ││ ││ │└───┘│ └─────┘ 再用 Stokes' theorem http://tinyurl.com/yll3n7m 可得 ΔΓ=∫∫{(Ry - Qz)dydz + (Pz - Rx)dzx + (Qx - Py)dxdy} ΔA ^ ^ ^ ^ ^ ^ =∫∫{(Ry - Qz)(n‧i) + (Pz - Rx)(n‧j) + (Qx - Py)(n‧k)}dA ΔA 其中 Py = ∂P/∂y , Qx... ^ → ^ n 為面積 dA 的單位法向量，向量面積 dA = dA n 再用均值定理可得 ( http://tinyurl.com/yzn7dme ) ^ ^ ^ | → ΔΓ= {(Ry - Qz)i + (Pz - Rx)j + (Qx - Py)k}| ‧ΔA |M' 取極限並定義符號 ΔΓ → → ^ μ = lim ---- = (▽×F)‧n n ΔA→0 ΔA ^ 其中括號內即是旋度，環量密度即是旋度沿著 n 方向的投影量 跟梯度與方向導數的定義很像 ^ 當 n 與旋度(梯度)同方向時，環量密度(方向導數)有最大值 所以旋度的意義為環量密度的最大值，其方向為環量隨面積變化最大的方向 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 59.126.40.88