※ 引述《ntust661 (661)》之铭言： : 图形 : ← : (x,y+Δy) (x+Δx,y+Δy) : ┌───┐ : │ │Δy : ↓ │ │ ↑ : └───┘ : (x,y) Δx (x+Δx,y) : → : 得到 底部流量 P(x,y) Δx : 顶部流量 - P(x+Δx,y+Δy)Δx : 右边流量 Q(x+Δx,y) Δy : 左边流量 - Q(x,y+Δy)Δy : 放一起， : - P(x+Δx,y+Δy) Δx + P(x,y) Δx + Q(x+Δx,y) Δy - Q(x,y+Δy) Δy : 这时候 加 P(x,y+Δy) 减 P(x,y+Δy) 加 Q(x+Δx,y+Δy) 减 Q(x+Δx,y+Δy) : 会变成 : d P d P d Q d Q : ( - ─── Δx - ─── Δy ) Δx + ( ─── Δx - ─── Δy ) Δy : d x d y d x d y : Δx 逼近趋近於零变成 dx : Δy 逼近趋近於零变成 dy : dxdx dydy 的项 小到不能在小...所以消掉。 推 chendaolong:仔细再看了一次，这篇推导是有问题的，dxdx & dydy是 12/05 17:09 → chendaolong:跟dxdy同数量级的，不能无缘无故削掉。 12/05 17:10 先定义一个东西叫环量 → → → 如在作用力场 F (x) 中，一直点沿封闭区线运转一周时，场力 F 所做的功为： → → → W = ∮F‧dx , 其中 dx 为线元素，积分为线的环积分 → → 又或是在流速场 v (x) 中，积分 → → ∮v‧dx 表示在单位时间内，沿封闭区线正向流动的环流 Q → → 又或是在磁场强度 H (x) 中，安培环路定律 → → ∮H‧dx = I 表示对磁场强度沿封闭区线做积分等於总电流强度 所以数学上可以定义有上面形式的量都叫环量 → → Γ = ∮F‧dx = ∮{Pdx + Qdy + Rdz} 这个环量跟封闭曲线所围的面积大小有关 如果我们要研究场中某个点 M 的性质 最简单的方法就是把这个量除以面积，并将面积取极限： → → ∮ F‧dx ΔΓ Δs μ = lim ------ = lim ---------- n ΔA→M ΔA ΔA→M ΔA → 其中μ 为环量面密度，它是跟面积ΔA的单位法向量 n 有关的 n ∮_Δs 表示对 A+ΔA 的环积分减掉对 A 的环积分 环量面密度，或简称环量密度，也就是环量对面积的变化率 要得到上式的明确表示式，先计算ΔΓ → → ΔΓ = ∮ F‧dx = ∮ {Pdx + Qdy + Rdz} Δs Δs ┌─┼┼──┐s+Δs │P(s+Δs)dx│ ┌┼┼─┐s 其中 │ │ │P(s)dx│ ∮( )dx = ∮( )dx -∮( )dx │ ↑ - │ ↑ Δs s+Δs s │ │ │ │ │ │ └───┘ └─────┘ ┌─────┐ │┌───┐│ ││ ││ = ├┤ ↓↑ ││ ││ │└───┘│ └─────┘ 再用 Stokes' theorem http://tinyurl.com/yll3n7m 可得 ΔΓ=∫∫{(Ry - Qz)dydz + (Pz - Rx)dzx + (Qx - Py)dxdy} ΔA ^ ^ ^ ^ ^ ^ =∫∫{(Ry - Qz)(n‧i) + (Pz - Rx)(n‧j) + (Qx - Py)(n‧k)}dA ΔA 其中 Py = ∂P/∂y , Qx... ^ → ^ n 为面积 dA 的单位法向量，向量面积 dA = dA n 再用均值定理可得 ( http://tinyurl.com/yzn7dme ) ^ ^ ^ | → ΔΓ= {(Ry - Qz)i + (Pz - Rx)j + (Qx - Py)k}| ‧ΔA |M' 取极限并定义符号 ΔΓ → → ^ μ = lim ---- = (▽×F)‧n n ΔA→0 ΔA ^ 其中括号内即是旋度，环量密度即是旋度沿着 n 方向的投影量 跟梯度与方向导数的定义很像 ^ 当 n 与旋度(梯度)同方向时，环量密度(方向导数)有最大值 所以旋度的意义为环量密度的最大值，其方向为环量随面积变化最大的方向 --

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