在四維空間中(或是三維或 N 維都可以) 我們可以任選一座標系(直角直線、直角曲線、斜角曲線等等) 在這坐標系中選定四個(或三個或 N 個，以下都以四個為例)基底向量 → g (μ我是習慣取 0~3，其中 0 表示類時分量，像時間、能量等等) μ 這些基底向量是線性獨立的 而且也不需正交歸一化 這樣子的基底向量稱為協變基向量 (covariant basis vector) → 任意向量 A 可以在此基底向量中展開 → μ→ A = A g μ μ 其中 A 稱為逆變分量 (contravariant component) 因為這些基向量並不一定正交歸一化 →ν 所以為了方便我們可以取另一組基向量 g ，使得 → →ν ν g ‧g = δ μ μ → →2 →3 以三維為例，g 垂直於 g 與 g 所展開的平面 1 →1 而 g 並不垂直於那個平面 這組基向量稱為逆變基向量 (contravariant basis vector) → 任一向量 A 也可以在這組基向量中展開 → →μ A = A g μ 純量(零階張量)，與方向無關，因此不需加上基向量來表示 向量(一階張量)，跟某個方向有關，因此需要一組基向量來表示 二階張量，跟兩個方向有關，因此需要兩組基向量來表示： μν→ → ν→μ→ μ → →ν →μ→ν T = T g g = T g g = T g g = T g g ~ μ ν μ ν ν μ μν (這裡我習慣用並乘，兩個向量寫在一起表示二階張量，或是用張量積來表示也可以) 二階張量的例子很多，如應力，μ方向的力作用在ν方向的面上 三階以上張量依此類推 定義度規張量(metric tensor) g 如下： ~ → → g = g ‧g μν μ ν 當μ=ν時，g 表示長度的尺度 μν 當μ≠ν時，g 表示角度的尺度 μν 例如畢氏定理 2 2 2 i j s = x + y = g x x ij 這是在直角單位長度坐標下的展開，其度規張量為 g = 1, g = 0, g = 1 11 12 22 若取 x 方向的單位長度為 √2，即 g = 2, g = 0, g = 1 11 12 22 則畢氏定理變為 2 2 2 s = 2x + y 如果取長度為 1 的桿子橫放在 x 軸上 則在此座標下量到的 x 值為 1/√2 這只是因為我們取的基底向量長度不一樣而已 若在斜角單位長度座標下，則 2 2 2 s = x + 2cosθxy + y 所以 g = 1, g = cosθ, g = 1 11 12 12 所以度規張量完全決定了這個空間的幾何性質 廣義相對論，愛因斯坦方程式，即是在求解這個度規張量 不同的度規張量有不同的幾何空間性質，如黑洞，史瓦茲(小孩)度規 http://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_metric 在曲線座標中，基底向量是會隨座標而改變的 所以如果我們對某一向量做微分 → ∂A →μ dA μ →μ ∂g ----- = ------- g + A ------- ν ν μ ν dx ∂x ∂x 將"基底向量對座標的偏微分"也對基底向量展開，即 →μ ∂g μ →ρ ------- = -Γ g ν νρ ∂x μ 這裡的 Γ 即是 Christoffel (第二類)三指數符號 νρ 所以上式變為(將 dummy index μ跟ρ對調) → ∂A dA μ ρ →μ ----- = [------- - A Γ ] g ν ν ρ νμ dx ∂x 括號裡是協變分量，所以可以定義為協變分量的協變導數 ∂A μ ρ A = ------- - A Γ μ;ν ν ρ νμ ∂x 同理可定義逆變分量的協變導數 μ μ ∂A ρ μ A = ------- + A Γ ;ν ν νρ ∂x 也可以定義逆變導數(我懶得寫了 = =) 協變(逆變)導數跟一般導數的差別在於第二項 也就是跟 Christoffel 有關的那一項 那一項的原因在於基底向量是隨座標而變化的 所以 Christoffel 符號就是在描述基底向量如何隨著座標而變化 (廣義地說是描述度規張量如何隨著座標而變化) 用基底向量再去內積來內積去，可以得到 ∂g ∂g ∂g α 1 αμ μβ μγ βγ Γ = --- g {--------- + --------- - --------} βγ 2 γ β μ ∂x ∂x ∂x 所以重點還是度規張量 之後的 Riemann-Christoffel 曲率張量也是由 度規張量的二階協變微分定義出來的 所以整個愛因斯坦方程式是度規張量的二階微分方程式 解出來你就出名了 = =+ ※ 引述《jerry78424 (青松碧濤)》之銘言： : 這學期在學廣義相對論....但是老師很多地方沒講 課本也沒寫 : μν μ : 像是度規g，g 跟g ，四維向量X 跟X : μν μ : μ : 還有christoffel symbol Γ 、Γ : αβ μαβ : 同學去借了張量分析的書，結果還是不懂.. : 請問這些上下標的差異到底在哪裡啊？ : 還有他們的物理意義是？ --

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